Barycentre

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Soit $\vec u(4;6)$ et $\vec v(2;3)$. $\vec u$ et $\vec v$ sont :
a) colinéaires   b) orthogonaux   c) ni l'un ni l'autre   d) égaux

2) $A(1;2)$, $B(5;8)$. Les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ sont :
a) $(4;6)$   b) $(6;10)$   c) $(4;10)$   d) $(-4;-6)$

3) Soit $A(2;-1)$, $B(6;3)$. Le milieu $I$ de $[AB]$ a pour coordonnées :
a) $(4;1)$   b) $(8;2)$   c) $(2;2)$   d) $(4;2)$

4) Trois points $A,B,C$ sont alignés si et seulement si :
a) $\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=0$   b) $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0$   c) $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}$   d) $\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=1$

Exercice 2 — Situation d'intégration

Un géomètre vérifie l'alignement de trois bornes délimitant un terrain agricole avant la construction d'une clôture rectiligne. Dans un repère où les distances sont en mètres : $A(2;3)$, $B(14;11)$, $C(20;15)$.

Consigne : 1) Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$. 2) Les trois bornes sont-elles alignées ? Justifier par le calcul du déterminant. 3) Une quatrième borne $D$ doit être placée telle que $\overrightarrow{BD}=\dfrac32\overrightarrow{BA}$. Calculer les coordonnées de $D$.

Exercice 2 — Situation d'intégration

Trois commerçants d'un marché mutualisent un espace de stockage. Le lieu idéal $G$ est le barycentre de leurs trois boutiques pondérées par leur volume de marchandises (en tonnes) : $A(0;0)$ de poids $2$, $B(12;0)$ de poids $1$, $C(6;9)$ de poids $3$.

Consigne : 1) Calculer les coordonnées de $G$. 2) Le commerçant $A$ trouve $G$ trop éloigné de sa boutique : calculer la distance $AG$ (arrondir au centième). 3) Si les trois poids étaient égaux (isobarycentre), quelles seraient les nouvelles coordonnées $G'$ ? Comparer brièvement à $G$.

Exercice supplémentaire. Trois coopératives agricoles, situées en $A(0;0)$, $B(6;0)$, $C(0;8)$, installent un entrepôt commun au barycentre $G$ de $(A,1)$, $(B,1)$, $(C,2)$ (la plus grande coopérative, en $C$, pèse double).

1) Calculer les coordonnées de $G$.
2) Calculer la distance $GC$.
3) $G$ appartient-il au cercle de centre $C$ et de rayon $3$ ?

Problème.

Partie A. Soit $A(-1;2)$, $B(3;4)$, $C(5;-2)$.
1) Calculer les coordonnées de $G$, l'isobarycentre de $A,B,C$ (moyenne des coordonnées).

Partie B. Soit $\vec u(3;-2)$ et $\vec v(k;4)$, où $k$ est un réel.
2) Pour quelle valeur de $k$ les vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ sont-ils colinéaires ?
3) Pour cette valeur de $k$, exprimer $\vec v$ en fonction de $\vec u$.

Partie C. On reprend $\vec u(3;-2)$ et $\vec v(k;4)$ avec $k$ quelconque (pas la valeur trouvée en B).
4) Exprimer les coordonnées de $\vec w=2\vec u-3\vec v$ en fonction de $k$.

Problème.

Partie A. Soit $A(-2;0)$ et $B(4;0)$ fixes, et $M$ un point mobile du plan.
1) Déterminer la nature de l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0$.
2) Donner le centre et le rayon de cet ensemble.
3) Écrire son équation cartésienne.

Partie B.
4) Le point $M(1;3)$ appartient-il à cet ensemble ? Justifier par le calcul (équation cartésienne, puis vérification directe par le produit scalaire).

Le plan est muni d'un repère orthonormé. On considère les points \(A(-4\,;-4)\), \(B(5\,;-1)\) et \(C(0\,;4)\), et on note \(G\) le barycentre des points pondérés \((A,1)\), \((B,2)\) et \((C,3)\).

1) Justifie l'existence du point \(G\), puis calcule ses coordonnées.

2) On note \(I\) le barycentre des points pondérés \((B,2)\) et \((C,3)\). Exprime le vecteur \(\overrightarrow{BI}\) en fonction du vecteur \(\overrightarrow{BC}\), puis calcule les coordonnées de \(I\).

3) Démontre, à l'aide du théorème des barycentres partiels, que les points \(A\), \(G\) et \(I\) sont alignés, et exprime \(\overrightarrow{AG}\) en fonction de \(\overrightarrow{AI}\). Contrôle l'alignement avec les coordonnées.

4) On note \(J\) le barycentre de \((A,1)\) et \((C,3)\), et \(K\) le barycentre de \((A,1)\) et \((B,2)\). Calcule les coordonnées de \(J\) et de \(K\), puis démontre que les droites \((AI)\), \((BJ)\) et \((CK)\) sont concourantes. Que représente \(G\) pour le segment \([CK]\) ?

5) Détermine l'ensemble \((E)\) des points \(M\) du plan tels que le vecteur \(\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}\) soit colinéaire au vecteur \(\overrightarrow{BC}\), et donne une équation cartésienne de \((E)\).

Une vendeuse porte sur la tête un plateau rectangulaire de 80 cm sur 70 cm, de masse négligeable. Dans un repère orthonormé d'unité 1 cm, dont l'origine est un coin du plateau et dont les axes suivent deux bords, le centre du plateau est le point \(\Omega(40\,;35)\). Quatre paquets sont posés aux points \(A(10\,;20)\), \(B(70\,;20)\), \(C(60\,;50)\) et \(D(20\,;50)\) ; leurs masses sont respectivement 300 g, 100 g, 300 g et 300 g. On admet que le point d'équilibre du plateau chargé est le barycentre \(G\) des quatre points affectés des masses des paquets. Le plateau tient bien sur la tête lorsque ce point d'équilibre est le centre \(\Omega\).

1) Justifie que \(G\) est aussi le barycentre des points pondérés \((A,3)\), \((B,1)\), \((C,3)\) et \((D,3)\).

2) On note \(H\) le barycentre de \((A,3)\) et \((B,1)\), et \(K\) celui de \((C,3)\) et \((D,3)\). Calcule les coordonnées de \(H\) et de \(K\).

3) En utilisant les barycentres partiels, calcule les coordonnées de \(G\). Contrôle le résultat avec la formule des coordonnées du barycentre de quatre points. Le plateau est-il bien équilibré ?

4) Démontre que les points \(G\), \(\Omega\) et \(B\) sont alignés et exprime \(\overrightarrow{\Omega B}\) en fonction de \(\overrightarrow{G\Omega}\).

5) La vendeuse ajoute au point \(B\) un paquet de masse \(m\) grammes. Justifie que le nouveau point d'équilibre est le barycentre de \((G,1000)\) et \((B,m)\), puis détermine \(m\) pour que ce point soit \(\Omega\).

6) Avec cette masse ajoutée, que représente \(\Omega\) pour les quatre points \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\) ? Justifie, puis contrôle avec les coordonnées.

Dans le plan, \(A\) et \(B\) sont deux points tels que \(AB=6\). On note \(G\) le barycentre des points pondérés \((A,1)\) et \((B,2)\). À tout point \(M\) du plan, on associe le nombre \(f(M)=MA^2+2MB^2\).

1) Exprime \(\overrightarrow{AG}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\), puis calcule les longueurs \(GA\) et \(GB\).

2) Démontre que, pour tout point \(M\) du plan, \(f(M)=3MG^2+24\).

3) Détermine la nature et les éléments caractéristiques des lignes de niveau 51, 24 et 20 de l'application \(f\), c'est-à-dire des ensembles des points \(M\) tels que \(f(M)=51\), puis \(f(M)=24\), puis \(f(M)=20\).

4) Calcule \(f(B)\), puis détermine la ligne de niveau de \(f\) qui passe par le point \(B\).

5) On note \((\Gamma)\) l'ensemble des points \(M\), distincts de \(B\), tels que \(\dfrac{MA}{MB}=2\). Justifie que \(M\) appartient à \((\Gamma)\) si et seulement si \(MA^2-4MB^2=0\). En introduisant le barycentre \(K\) de \((A,1)\) et \((B,-4)\), démontre que \((\Gamma)\) est un cercle dont tu préciseras le centre et le rayon.

6) Démontre de deux façons que le point \(G\) appartient à \((\Gamma)\).

Le plan est muni d'un repère orthonormé d'origine \(O\). On considère les points \(A(-3\,;1)\), \(B(5\,;-3)\) et \(C(7\,;7)\). On note \(I\) le milieu de \([AB]\) et \(G\) le barycentre des points pondérés \((A,1)\), \((B,1)\) et \((C,2)\).

1) Calcule les coordonnées de \(I\). Démontre que \(G\) est le milieu du segment \([IC]\), puis calcule ses coordonnées.

2) Soit \(M\) un point du plan. Réduis la somme \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}\). Démontre que le vecteur \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{MC}\) ne dépend pas du point \(M\) et qu'il est égal à \(2\overrightarrow{CI}\) ; calcule ses coordonnées et sa norme.

3) Détermine l'ensemble \((E_1)\) des points \(M\) tels que \(\|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}\|=\|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{MC}\|\). Vérifie que les points \(O\) et \(C\) appartiennent à \((E_1)\).

4) Détermine l'ensemble \((E_2)\) des points \(M\) tels que \(\|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}\|=2\,\|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\|\), et donne une équation cartésienne de \((E_2)\).

5) Détermine l'ensemble \((E_3)\) des points \(M\) tels que \((\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC})\cdot(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{MC})=0\), et donne une équation cartésienne de \((E_3)\).

6) Justifie que \((E_2)\) et \((E_3)\) sont parallèles, puis calcule la distance entre ces deux ensembles. Explique ce résultat sans calcul de coordonnées.