Angles orientés et trigonométrie

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Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) $\cos(a+b)$ vaut :
a) $\cos a\cos b-\sin a\sin b$   b) $\cos a\cos b+\sin a\sin b$   c) $\sin a\cos b+\cos a\sin b$   d) $\cos a+\cos b$

2) $\sin(2a)$ vaut :
a) $2\sin a\cos a$   b) $\cos^2a-\sin^2a$   c) $2\cos^2a-1$   d) $\sin a+\cos a$

3) $\cos75°=\cos(45°+30°)$ vaut :
a) $\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}4$   b) $\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}4$   c) $\dfrac{\sqrt2}2$   d) $\dfrac12$

4) D'après la formule de linéarisation du cours, $\cos^2a$ s'écrit :
a) $\dfrac{1+\cos(2a)}2$   b) $\dfrac{1-\cos(2a)}2$   c) $1-\sin^2a$   d) $\dfrac{\cos(2a)}2$

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) $\cos u=\cos v$ équivaut à :
a) $u=v+2k\pi$ ou $u=-v+2k\pi$   b) $u=v+k\pi$   c) $u=v$ uniquement   d) $u=\pi-v$

2) Dans un triangle $ABC$ ($a=BC$, $b=AC$, $c=AB$), la loi des cosinus s'écrit :
a) $a^2=b^2+c^2-2bc\cos\widehat A$   b) $a^2=b^2+c^2$   c) $a=b+c$   d) $a^2=b^2-c^2$

3) L'angle inscrit interceptant un arc vaut, par rapport à l'angle au centre interceptant le même arc :
a) le double   b) la moitié   c) le même angle   d) le tiers

4) L'équation $2\cos x-1=0$ admet, sur $[0;2\pi[$ :
a) $1$ solution   b) $2$ solutions   c) $3$ solutions   d) $0$ solution

Exercice 2 — Situation d'intégration

Un technicien du service météorologique modélise la hauteur d'eau dans un bassin de rétention par $h(t)=3\cos t+4\sin t$ (mètres, $t$ en heures depuis le début de l'observation).

Consigne : Déterminer $R$ et $\varphi$ tels que $h(t)=R\cos(t-\varphi)$, en déduire la hauteur maximale que peut atteindre l'eau dans le bassin d'après ce modèle.

Exercice 4 — Approfondissement

Résoudre dans $[0;2\pi[$ l'équation $2\cos^2x-\cos x-1=0$.

Problème.

Partie A. Sachant $\cos a=\dfrac7{25}$ avec $a\in\left[0;\dfrac\pi2\right]$, calculer $\sin a$, puis $\cos(2a)$ et $\sin(2a)$.

Partie B. Linéariser $\cos^2x\sin^2x$ (comme l'exemple du cours), puis évaluer cette expression pour $x$ tel que $\sin(2x)=0{,}6$.

Partie C. Transformer $8\cos x+6\sin x$ en $R\cos(x-\varphi)$ et donner la valeur maximale de cette expression.

Problème.

Partie A. Résoudre sur $[0;2\pi[$ : $\sin(2x)=\sin\left(\dfrac\pi4\right)$.

Partie B. Un triangle $ABC$ a pour côtés $a=5$, $b=6$, $c=7$. 1) Calculer $\cos\widehat A$. 2) En déduire $\widehat A$ en degrés (arrondi à l'unité). 3) Calculer l'aire du triangle (arrondie au dixième).

Partie C. Dans un cercle de centre $O$, l'angle inscrit interceptant un arc $AB$ vaut $35°$. Quel est l'angle au centre interceptant le même arc ?

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=2\sqrt{3}\cos^2 x-2\sin x\cos x-\sqrt{3}\).

1) Calcule \(f(0)\) et \(f\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\).

2) À l'aide des formules de duplication et de linéarisation, démontre que, pour tout réel \(x\), \(f(x)=\sqrt{3}\cos 2x-\sin 2x\).

3) Démontre que, pour tout réel \(x\), \(f(x)=2\cos\left(2x+\dfrac{\pi}{6}\right)\). Contrôle cette écriture avec les deux valeurs de la question 1.

4) Résous dans l'intervalle \(\left]-\pi\,;\pi\right]\) l'équation \(f(x)=1\).

5) Résous dans l'intervalle \(\left[0\,;\pi\right]\) l'inéquation \(f(x)\leq -1\).

Dans un petit port de pêche, la profondeur de l'eau à l'entrée du chenal varie avec la marée. Pendant une durée de 12 heures, on la modélise par \(h(t)=5+2\cos\left(\dfrac{\pi t}{6}\right)-2\sqrt{3}\sin\left(\dfrac{\pi t}{6}\right)\), où \(t\) est le temps écoulé depuis le début des relevés, en heures, avec \(t\) dans \(\left[0\,;12\right]\), et \(h(t)\) la profondeur en mètres.

1) Calcule \(h(0)\), \(h(3)\) et \(h(6)\) ; donne une valeur approchée de \(h(3)\) au centimètre près.

2) Démontre que, pour tout réel \(\theta\), \(2\cos\theta-2\sqrt{3}\sin\theta=4\cos\left(\theta+\dfrac{\pi}{3}\right)\). Déduis-en que \(h(t)=5+4\cos\left(\dfrac{\pi t}{6}+\dfrac{\pi}{3}\right)\).

3) Justifie que la profondeur reste comprise entre 1 mètre et 9 mètres, puis détermine les instants où elle est maximale et où elle est minimale.

4) Résous dans \(\left[0\,;12\right]\) l'équation \(h(t)=7\).

5) Une pirogue chargée ne peut franchir le chenal que si la profondeur est d'au moins 3 mètres. Résous dans \(\left[0\,;12\right]\) l'inéquation \(h(t)\geq 3\), puis interprète le résultat : pendant combien d'heures, au total, la pirogue peut-elle passer ?

Le plan est muni d'un repère orthonormé direct \((O\,;I,J)\). On note \((\mathcal{C})\) le cercle trigonométrique, de centre \(O\) et de rayon 1, et \((D)\) la droite d'équation \(\sqrt{3}\,x+y-1=0\). Pour tout réel \(t\) de \(\left]-\pi\,;\pi\right]\), on note \(M\) le point de \((\mathcal{C})\) tel que \(t\) soit une mesure de l'angle orienté \(\left(\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OM}\right)\).

1) Donne les coordonnées de \(M\) en fonction de \(t\), puis justifie que \(M\) appartient à \((D)\) si, et seulement si, \(\sqrt{3}\cos t+\sin t=1\).

2) Démontre que, pour tout réel \(t\), \(\sqrt{3}\cos t+\sin t=2\cos\left(t-\dfrac{\pi}{6}\right)\).

3) Résous dans \(\left]-\pi\,;\pi\right]\) l'équation \(\sqrt{3}\cos t+\sin t=1\). Déduis-en les coordonnées des deux points d'intersection de \((D)\) et de \((\mathcal{C})\) ; on note \(E\) celui d'abscisse nulle et \(F\) l'autre.

4) Retrouve les coordonnées de \(E\) et de \(F\) par une autre méthode, en utilisant l'équation \(x^2+y^2=1\) du cercle \((\mathcal{C})\).

5) Résous dans \(\left]-\pi\,;\pi\right]\) l'inéquation \(\sqrt{3}\cos t+\sin t\geq 1\). Interprète l'ensemble des solutions à l'aide des points \(E\), \(F\) et \(I\).

6) Détermine la mesure principale de l'angle orienté \(\left(\overrightarrow{OE},\overrightarrow{OF}\right)\), puis calcule la distance \(EF\).

Soit \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) deux vecteurs non nuls du plan orienté tels que \(\dfrac{49\pi}{8}\) soit une mesure de l'angle orienté \(\left(\vec{u},\vec{v}\right)\).

1) Détermine la mesure principale de chacun des angles orientés \(\left(\vec{u},\vec{v}\right)\), \(\left(-2\vec{u},3\vec{v}\right)\) et \(\left(\vec{v},\vec{u}\right)\). Justifie.

2) À l'aide des formules de linéarisation, calcule les valeurs exactes de \(\cos\dfrac{\pi}{8}\) et de \(\sin\dfrac{\pi}{8}\).

3) Démontre que \(\tan\dfrac{\pi}{8}=\sqrt{2}-1\).

4) Résous dans \(\left]-\pi\,;\pi\right]\) l'équation \(\tan x=\sqrt{2}-1\).

5) Démontre que, pour tout réel \(x\), \(\cos x+\left(\sqrt{2}-1\right)\sin x=\dfrac{\cos\left(x-\frac{\pi}{8}\right)}{\cos\frac{\pi}{8}}\). Résous alors dans \(\left]-\pi\,;\pi\right]\) l'équation \(\cos x+\left(\sqrt{2}-1\right)\sin x=1\).