Fonction Exponentielle

Exercice 7 — Dérivées de fonctions exponentielles composées

En utilisant $(e^{u(x)})' = u'(x)\,e^{u(x)}$, calculer la dérivée de :

1. $f(x) = e^{3x+2}$

2. $g(x) = e^{x^2 - 1}$

3. $h(x) = e^{-x/2} + 2x$

Exercice 2 — Résolution d'une équation exponentielle

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $e^{2x-1} = e^3$.

Exercice 4 — Étude de $f(x) = xe^x$

Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = xe^x$.

1. Calculer $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$.

2. Calculer $f'(x)$. Étudier son signe.

3. Dresser le tableau de variations complet.

4. Équation de la tangente en $x = 0$.

Exercice 6 — Optimisation — niveau Bac

Un agriculteur dispose de 120 mètres de clôture pour délimiter un terrain rectangulaire dont un côté est longé par un mur (pas besoin de clôture de ce côté).

On note $x$ la longueur du côté perpendiculaire au mur ($0 < x < 60$).

1. Exprimer la longueur du côté parallèle au mur en fonction de $x$.

2. Exprimer l'aire $A(x)$ du terrain en fonction de $x$.

3. Étudier les variations de $A$ sur $]0\,;\,60[$. Trouver la valeur de $x$ qui maximise l'aire.

4. Calculer l'aire maximale et les dimensions optimales.

5. Pour quelles valeurs de $x$ l'aire est-elle supérieure à $1\,600\ \text{m}^2$ ?

Exercice 5 — Modélisation et croissance exponentielle

La population d'une ville du Burkina Faso était de 80 000 habitants en 2010. On modélise son évolution par $P(t) = 80\,000 \times e^{kt}$, où $t$ est le nombre d'années depuis 2010. En 2020, la population était de 100 000 habitants.

1. Déterminer $k$ (valeur approchée à $10^{-4}$ près). ($\ln(1{,}25) \approx 0{,}2231$)

2. Calculer $P'(t)$ et interpréter son signe.

3. En quelle année la population dépassera-t-elle 150 000 habitants ?

4. Montrer que la population double en un temps $T$ constant. Calculer $T$.

5. Calculer la population moyenne sur $[0\,;\,10]$.

Exercice 12 — Comparaisons de croissance

Partie A — Soit $f(x) = \dfrac{\ln x}{\sqrt{x}}$ sur $]0\,;\,+\infty[$.

1. Calculer $f'(x)$. Variations de $f$.

2. Montrer que $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln x}{\sqrt{x}} = 0$.

3. En déduire $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln x}{x}$.

Partie B — Soit $g(x) = x^2 e^{-x}$.

4. Calculer $g'(x)$ et dresser le tableau de variations.

5. Montrer que $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} x^2 e^{-x} = 0$.

Exercice 13 — Décroissance radioactive et demi-vie

$Q(t) = 200\,e^{-\lambda t}$ grammes, avec demi-vie $T_{1/2} = 30$ ans.

1. Montrer que $\lambda = \dfrac{\ln 2}{30}$. Valeur approchée à $10^{-4}$.

2. Calculer $Q(60)$ et $Q(90)$.

3. Calculer $Q'(t)$. Interpréter.

4. Au bout de combien d'années reste-t-il moins de 10 g ?

5. Calculer la quantité moyenne $\bar{Q}$ sur $[0\,;\,30]$.

Exercice 5 — Inéquation exponentielle par changement de variable

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $e^{2x} - 3e^x + 2 \le 0$.

Exercice 6 — Étude complète : $f(x)=xe^{-x}$

Étudier les variations de $f(x) = xe^{-x}$ sur $[0\,;+\infty[$ et déterminer sa limite en $+\infty$. En déduire un encadrement de $f(x)$ sur cet intervalle.

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x-2+\dfrac{4}{e^x+1}\). On note \((\mathcal{C})\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1) Calcule les limites de \(f\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\).

2) Démontre que, pour tout réel \(x\), \(f'(x)=\left(\dfrac{e^x-1}{e^x+1}\right)^2\). Déduis-en le sens de variation de \(f\) et dresse son tableau de variation.

3) Démontre que la droite \((D)\) d'équation \(y=x-2\) est asymptote à \((\mathcal{C})\) en \(+\infty\) et que la droite \((D')\) d'équation \(y=x+2\) est asymptote à \((\mathcal{C})\) en \(-\infty\). Étudie la position de \((\mathcal{C})\) par rapport à chacune de ces deux droites.

4) Démontre que la fonction \(f\) est impaire et interprète ce résultat pour la courbe \((\mathcal{C})\). Détermine une équation de la tangente à \((\mathcal{C})\) au point d'abscisse 0, puis la position de \((\mathcal{C})\) par rapport à cette tangente.

5) Démontre que l'équation \(f(x)=1\) admet une unique solution \(\alpha\) dans \(\mathbb{R}\), puis justifie que \(2{,}7\lt\alpha\lt 2{,}8\).

Une marmite de bouillie de mil est retirée du feu et posée dans une pièce. Sa température, en degrés Celsius, \(t\) minutes après la sortie du feu, est modélisée par la fonction \(\theta\) définie sur \([0\,;+\infty[\) par \(\theta(t)=28+62\,e^{-0{,}05t}\).

1) Calcule \(\theta(0)\) et la limite de \(\theta\) en \(+\infty\). Interprète ces deux résultats.

2) Calcule \(\theta'(t)\) et donne le sens de variation de \(\theta\) sur \([0\,;+\infty[\). Calcule \(\theta'(0)\) et interprète ce nombre.

3) Résous l'équation \(\theta(t)=59\). On note \(T\) sa solution ; donne la valeur exacte de \(T\), puis une valeur approchée à \(0{,}1\) minute près.

4) Démontre que, pour tout \(t\geq 0\), \(\theta(t+T)-28=\dfrac{1}{2}\left(\theta(t)-28\right)\). Pour tout entier naturel \(n\), on pose \(u_n=\theta(nT)-28\). Déduis-en la nature de la suite \((u_n)\), puis exprime \(u_n\) en fonction de \(n\).

5) La bouillie peut être servie aux enfants dès que sa température est strictement inférieure à 30 degrés. Résous l'inéquation \(\theta(t)\lt 30\) et donne une valeur approchée à \(0{,}1\) minute près du temps d'attente. Détermine ensuite le plus petit entier \(n\) tel que \(u_n\lt 2\) et vérifie que les deux résultats sont cohérents.

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=(x^2-3)\,e^x\). On note \((\mathcal{C})\) sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

1) Calcule la limite de \(f\) en \(+\infty\). En posant \(X=-x\), calcule la limite de \(x^2e^x\) quand \(x\) tend vers \(-\infty\), puis la limite de \(f\) en \(-\infty\). Interprète graphiquement ce dernier résultat.

2) Démontre que, pour tout réel \(x\), \(f'(x)=(x-1)(x+3)\,e^x\). Étudie le signe de \(f'(x)\) et dresse le tableau de variation de \(f\).

3) Résous l'équation \(f(x)=0\), puis étudie le signe de \(f(x)\). Déduis-en la position de \((\mathcal{C})\) par rapport à l'axe des abscisses.

4) Détermine une équation de la tangente \((T)\) à \((\mathcal{C})\) au point d'abscisse 0. En quels points la courbe \((\mathcal{C})\) admet-elle une tangente parallèle à l'axe des abscisses ?

5) Soit \(k\) un réel. À l'aide du tableau de variation, détermine, suivant les valeurs de \(k\), le nombre de solutions de l'équation \(f(x)=k\).

6) Applique le résultat précédent à l'équation \(f(x)=-3\) : donne le nombre de solutions, une solution évidente, puis justifie que l'autre solution \(\beta\) vérifie \(1{,}5\lt\beta\lt 1{,}6\).

Soit \(f\) la fonction définie par \(f(x)=\ln\left(e^{2x}-e^x+1\right)\). On note \((\mathcal{C})\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1) En posant \(X=e^x\), démontre que \(e^{2x}-e^x+1\gt 0\) pour tout réel \(x\). Quel est l'ensemble de définition de \(f\) ?

2) Calcule les limites de \(f\) en \(-\infty\) et en \(+\infty\). Précise l'asymptote à \((\mathcal{C})\) en \(-\infty\).

3) Démontre que, pour tout réel \(x\), \(f(x)=2x+\ln\left(1-e^{-x}+e^{-2x}\right)\). Déduis-en que la droite \((\Delta)\) d'équation \(y=2x\) est asymptote à \((\mathcal{C})\) en \(+\infty\), puis étudie la position de \((\mathcal{C})\) par rapport à \((\Delta)\).

4) Calcule \(f'(x)\), étudie son signe et dresse le tableau de variation de \(f\). Donne la valeur exacte du minimum de \(f\).

5) Résous l'équation \(f(x)=0\), puis étudie le signe de \(f(x)\).

6) Résous l'équation \(f(x)=\ln 3\), puis l'inéquation \(f(x)\leq\ln 7\).