Suites numériques — génération et comportement

Exercice 1 — QCM

1) $(u_n)$ est arithmétique, $u_0=5$, $r=3$. La valeur de $u_{10}$ est :
a) $32$   b) $35$   c) $38$   d) $30$

2) $(u_n)$ est géométrique, $u_0=2$, $q=3$. La valeur de $u_5$ est :
a) $162$   b) $242$   c) $486$   d) $729$

3) $(u_n)$ est arithmétique, $u_0=1$, $r=2$. La somme $S=u_0+u_1+\cdots+u_9$ ($10$ termes) vaut :
a) $90$   b) $55$   c) $110$   d) $100$

4) La suite $(v_n)$ définie par $v_n=(0{,}8)^n$ :
a) diverge vers $+\infty$   b) converge vers $0$   c) converge vers $1$   d) est périodique

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Soit $f(x)=3x-2$ et $u_n=f(n)$ pour tout $n$. $u_3$ vaut :
a) 5   b) 7   c) 9   d) 1

2) Soit $u_0=2$ et $u_{n+1}=3u_n+1$. $u_2$ vaut :
a) 19   b) 22   c) 25   d) 7

3) Soit $v_n=8-2n$. $v_{n+1}-v_n$ vaut :
a) $-2$   b) $2$   c) $-2n$   d) $8$

4) Une suite $(w_n)$ vérifie $w_{n+1}-w_n=4$ pour tout $n$. La suite $(w_n)$ est :
a) croissante   b) décroissante   c) constante   d) on ne peut pas savoir

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Soit $v_n=\dfrac n{n+3}$. Cette suite est majorée par :
a) $1$   b) $\dfrac13$   c) $3$   d) $n$

2) Soit $w_n=50-7n$. Le sens de variation de $(w_n)$ est :
a) croissante   b) décroissante   c) constante   d) non monotone

3) Dans une démonstration par récurrence, la deuxième étape s'appelle :
a) Initialisation   b) Hérédité   c) Conclusion   d) Réciproque

4) Une suite $(u_n)$ vérifie $u_{n+p}=u_n$ pour tout $n$ : elle est dite :
a) monotone   b) majorée   c) périodique de période $p$   d) bornée

Exercice 2 — Situation d'intégration

Un jeune commerçant veut acheter un tricycle de transport dans $5$ ans, dès que son épargne atteindra $550\,000$ FCFA. Il dispose aujourd'hui de $400\,000$ FCFA et hésite entre deux structures de microfinance :

Option A : chaque année, l'épargne augmente d'un montant fixe de $30\,000$ FCFA (intérêt simple).
Option B : chaque année, l'épargne est multipliée par $1{,}06$ (intérêt composé à $6\,\%$). On donne $1{,}06^5\approx 1{,}3382$.

Consigne : Calculer le montant obtenu après $5$ ans dans chacune des deux options, puis conseiller au commerçant l'option qui lui permet d'atteindre son objectif de $550\,000$ FCFA.

Exercice 2 — Situation d'intégration

Une ONG suit le nombre total d'arbres plantés dans le cadre d'un programme de reboisement. Le nombre cumulé d'arbres plantés après $n$ années, noté $u_n$, vérifie $u_0=200$ (arbres plantés la première année) et, pour tout $n$, $u_{n+1}=u_n+150$ (150 nouveaux arbres plantés chaque année, qui s'ajoutent au total).

Consigne : Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$, étudier le sens de variation de la suite $(u_n)$, et dire si ce modèle est cohérent avec un programme de reboisement mené sans interruption.

Exercice 2 — Situation d'intégration

Une ONG installe des pompes à eau villageoises dans la région du Sahel. Elle modélise la proportion de pompes en panne après $n$ mois de fonctionnement par $p_n=\dfrac n{n+2}$.

Consigne : Montrer que cette proportion reste toujours strictement inférieure à $1$ (majorée par $1$), montrer qu'elle est croissante, et interpréter ces deux résultats pour la maintenance à long terme du réseau de pompes.

Exercice 2 — Situation d'intégration

Une banque de développement finance un projet d'adduction d'eau. Le coût cumulé de maintenance (en millions de FCFA) après $n$ années de fonctionnement suit $C_n=8-6\times(0{,}5)^n$.

Consigne : Étudier la limite de $C_n$ quand $n\to+\infty$, et interpréter ce résultat pour le budget à long terme du projet : le coût cumulé se stabilise-t-il, et vers quelle valeur plafond ?

Partie A. $(u_n)$ est arithmétique, $u_0=7$, $r=4$. 1) Calculer $u_1,u_2,u_3$ et exprimer $u_n$ en fonction de $n$. 2) Exprimer $S_n=u_0+u_1+\cdots+u_n$ en fonction de $n$, puis calculer $S_{10}$.

Partie B. $(v_n)$ est géométrique, $v_0=3$, $q=2$. 3) Exprimer $v_n$ en fonction de $n$ et calculer $v_6$. 4) Exprimer $T_n=v_0+v_1+\cdots+v_n$ en fonction de $n$, puis calculer $T_6$.

Partie C. 5) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $2^n\geqslant n+1$.

Problème.

Partie A. Soit $f(x)=2x^2-1$ et $u_n=f(n)$ pour tout $n\in\mathbb N$.
1) Calculer $u_0$, $u_1$ et $u_2$.
2) Exprimer $u_{n+1}-u_n$ en fonction de $n$, et en déduire le sens de variation de $(u_n)$.

Partie B. Soit $(v_n)$ définie par $v_0=3$ et, pour tout $n$, $v_{n+1}=2v_n-1$.
3) Calculer $v_1$, $v_2$, $v_3$ et $v_4$.
4) En observant les écarts entre termes consécutifs, conjecturer une expression de $v_n$ en fonction de $n$, puis vérifier cette conjecture pour $n=0,1,2,3,4$.

Exercice 4 — Approfondissement

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_{n+1}=\dfrac13u_n+4$.

1) On pose $v_n=u_n-6$. Montrer que $(v_n)$ est géométrique et préciser sa raison et son premier terme.

2) Exprimer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$.

3) Déterminer $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n$.

4) Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $u_n>5{,}99$.

Problème — Un laboratoire étudie l'effet d'un traitement antibiotique sur une population bactérienne. Le nombre de bactéries après $n$ heures, noté $u_n$, vérifie $u_0=1\,000$ et $u_{n+1}=2u_n-500$ pour tout $n$.

Partie A. Calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$.

Partie B. Démontrer par récurrence que, pour tout $n\in\mathbb N$, $u_n=500\times2^n+500$.

Partie C. D'après la formule de la partie B, quel est le comportement de $u_n$ lorsque $n$ devient très grand ? Que peut-on en conclure sur l'efficacité de ce traitement pour éradiquer la population bactérienne à long terme ?

Problème — Une plateforme de tutorat en ligne burkinabè suit trois indicateurs mensuels, $n$ désignant le nombre de mois depuis le lancement.

Partie A. Nombre d'inscriptions cumulées (en dizaines) : $u_n=6n^3-100$. Déterminer $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n$, en justifiant.

Partie B. Taux de rétention (en %) : $v_n=12-8\times(0{,}25)^n$. Déterminer $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}v_n$, en justifiant.

Partie C. Note de satisfaction (sur $10$) : $w_n=\dfrac1{n^2}+5$. Déterminer $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}w_n$, en justifiant.

Partie D. D'après les trois résultats précédents, lequel de ces indicateurs ne se stabilise jamais et continue de croître indéfiniment ? Lesquels se stabilisent, et vers quelles valeurs ?

On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0=1\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}=\dfrac{3u_n+4}{u_n+3}\).

1) Calcule \(u_1\) et \(u_2\) sous forme de fractions irréductibles.

2) Démontre par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), \(0\lt u_n\lt 2\).

3) Montre que \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{4-u_n^2}{u_n+3}\). Déduis-en le sens de variation de \((u_n)\) et justifie que la suite est bornée.

4) On pose, pour tout \(n\), \(v_n=\dfrac{u_n-2}{u_n+2}\). Démontre que \((v_n)\) est une suite géométrique dont tu préciseras la raison et le premier terme, puis exprime \(v_n\) en fonction de \(n\).

5) Déduis-en que \(u_n=\dfrac{2(3\times5^n-1)}{3\times5^n+1}\), retrouve \(u_2\), puis calcule en fonction de \(n\) la somme \(S_n=v_0+v_1+\cdots+v_n\).

Une coopérative produit 400 kg de beurre de karité le premier mois. Elle hésite entre deux plans. Plan A : la production augmente de 60 kg chaque mois. Plan B : la production augmente de 10 % chaque mois. On note \(a_n\) et \(b_n\) les productions, en kg, du \(n\)-ième mois selon chaque plan, avec \(a_1=b_1=400\).

1) Précise la nature de chacune des suites \((a_n)\) et \((b_n)\) et exprime \(a_n\) et \(b_n\) en fonction de \(n\).

2) Calcule \(a_5\) et \(b_5\), puis justifie le sens de variation de chaque suite.

3) À l'aide des valeurs de \(a_n\) et \(b_n\) pour \(n=8\), \(9\) et \(10\) (arrondies au centième), détermine le premier mois où le plan B dépasse le plan A.

4) Calcule la production totale sur les 12 premiers mois pour chaque plan (arrondie au centième) et interprète.

5) Démontre par récurrence que, pour tout entier \(n\geq 10\), \(b_n\gt a_n\).

Une suite \((u_n)_{n\geq1}\) est telle que, pour tout entier \(n\geq 1\), la somme \(S_n=u_1+u_2+\cdots+u_n\) s'écrit \(S_n=an^2+bn+c\), où \(a\), \(b\), \(c\) sont des réels. On sait que \(S_1=3\), \(S_2=10\) et \(S_3=21\).

1) Écris le système vérifié par \(a\), \(b\), \(c\) et résous-le par la méthode du pivot de Gauss.

2) Calcule \(u_1\), \(u_2\), \(u_3\), puis montre que, pour tout \(n\geq 2\), \(u_n=4n-1\). Cette formule est-elle encore valable pour \(n=1\) ?

3) Démontre que \((u_n)\) est une suite arithmétique et vérifie la cohérence avec la formule de la somme des termes d'une suite arithmétique.

4) Détermine l'entier \(n\) tel que \(S_n=1275\).

5) Démontre par récurrence, en utilisant seulement \(u_k=4k-1\), que pour tout \(n\geq 1\), \(u_1+u_2+\cdots+u_n=2n^2+n\).

On lâche une balle d'une hauteur de 5 m sur un sol horizontal. Après chaque rebond, elle remonte aux \(\frac{3}{5}\) de la hauteur atteinte précédemment. On note \(h_0=5\) et \(h_n\) la hauteur, en mètres, atteinte après le \(n\)-ième rebond.

1) Calcule \(h_1\) et \(h_2\), précise la nature de la suite \((h_n)\) et exprime \(h_n\) en fonction de \(n\).

2) Justifie que la suite \((h_n)\) est décroissante et bornée.

3) Détermine le plus petit entier \(n\) pour lequel \(h_n\lt 0{,}5\).

4) On note \(D_n\) la distance verticale totale parcourue par la balle depuis le lâcher jusqu'au moment où elle touche le sol pour la \((n+1)\)-ième fois, de sorte que \(D_n=5+2(h_1+h_2+\cdots+h_n)\). Démontre que \(D_n=20-15\times0{,}6^n\) et vérifie ce résultat pour \(n=3\).

5) Démontre que la suite \((D_n)\) est croissante et majorée par 20. Interprète ce résultat.