Première D · Leçon 4
Bases orthonormées et angle de deux vecteurs
Bases orthonormées directes et angle orienté de deux vecteurs
Ce chapitre s'appuie directement sur les acquis de Seconde concernant les angles orientés de vecteurs. L'objectif : donner un sens précis au cosinus et au sinus de l'angle entre deux vecteurs quelconques, pas seulement sur le cercle trigonométrique.
Sur le cercle trigonométrique (centre \(O\), rayon \(1\)), le cosinus d'un réel \(x\) est l'abscisse du point associé, le sinus en est son ordonnée, avec toujours \(\cos^2x+\sin^2x=1\). Ce chapitre étend ces notions au cosinus et au sinus de l'angle entre deux vecteurs quelconques, pas seulement sur le cercle.
Une base \((\vec i,\vec j)\) est orthonormée si \(\vec i\) et \(\vec j\) sont unitaires (\(\|\vec i\|=\|\vec j\|=1\)) et orthogonaux. Elle est directe si \(\vec j\) s'obtient à partir de \(\vec i\) par une rotation de \(+90°\) (sens trigonométrique / anti-horaire) ; sinon elle est indirecte.
Étant donné un vecteur unitaire \(\vec u\), il existe un seul vecteur unitaire \(\vec v\) tel que \((\vec u,\vec v)\) soit une base orthonormée directe.
Dans une base orthonormée directe, si \(\vec u(x;y)\) et \(\vec v(x';y')\) sont non nuls, et \(\theta=(\widehat{\vec u,\vec v})\) :
\[ \cos\theta = \dfrac{\vec u\cdot\vec v}{\|\vec u\|\,\|\vec v\|} = \dfrac{xx'+yy'}{\|\vec u\|\,\|\vec v\|}, \qquad \sin\theta = \dfrac{xy'-x'y}{\|\vec u\|\,\|\vec v\|} = \dfrac{\det(\vec u,\vec v)}{\|\vec u\|\,\|\vec v\|}. \]Le cosinus se calcule avec le produit scalaire (déjà vu en Seconde), le sinus avec le déterminant — les deux notions se retrouvent ici réunies.
\(\vec u(1;0)\), \(\vec v(0;1)\) : \(\vec u\cdot\vec v=0\), \(\det(\vec u,\vec v)=1\times1-0\times0=1\). \(\|\vec u\|=\|\vec v\|=1\). Donc \(\cos\theta=0\), \(\sin\theta=1\), soit \(\theta=\dfrac{\pi}{2}\) — cohérent avec deux vecteurs orthogonaux formant une base directe.
\(\vec u(2;0)\), \(\vec v(1;\sqrt3)\) : \(\vec u\cdot\vec v=2\), \(\det(\vec u,\vec v)=2\sqrt3-0=2\sqrt3\). \(\|\vec u\|=2\), \(\|\vec v\|=2\). \(\cos\theta=\dfrac{2}{4}=\dfrac12\), \(\sin\theta=\dfrac{2\sqrt3}{4}=\dfrac{\sqrt3}{2}\) : \(\theta=\dfrac{\pi}{3}\).
Figure interactive — Angle entre deux vecteurs
Résumé
Directe : \(\vec j\) = rotation de \(+90°\) de \(\vec i\). Un seul \(\vec v\) unitaire complète \(\vec u\) en base directe.
\(\cos\theta=\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{\|\vec u\|\|\vec v\|}\) — produit scalaire normalisé.
\(\sin\theta=\dfrac{\det(\vec u,\vec v)}{\|\vec u\|\|\vec v\|}\) — déterminant normalisé.
\(\vec u\cdot\vec v=0\) : orthogonaux. \(\det=0\) : colinéaires.
Sujet type devoir
Dans une base orthonormée directe, on donne \(\vec u(3;4)\) et \(\vec v(-4;3)\).
Question 1. Calculer \(\|\vec u\|\) et \(\|\vec v\|\).
\(\|\vec u\|=\sqrt{9+16}=5\). \(\|\vec v\|=\sqrt{16+9}=5\).
Question 2. Calculer \(\vec u\cdot\vec v\) et \(\det(\vec u,\vec v)\), puis en déduire \(\cos\theta\) et \(\sin\theta\) pour \(\theta=(\widehat{\vec u,\vec v})\).
\(\vec u\cdot\vec v=3\times(-4)+4\times3=-12+12=0\). \(\det(\vec u,\vec v)=3\times3-(-4)\times4=9+16=25\).
\(\cos\theta=\dfrac{0}{25}=0\), \(\sin\theta=\dfrac{25}{25}=1\).
Question 3. En déduire la valeur de \(\theta\).
\(\cos\theta=0\) et \(\sin\theta=1\) : \(\theta=\dfrac{\pi}{2}\). Les vecteurs \(\vec u\) et \(\vec v\) sont orthogonaux (cohérent avec \(\vec u\cdot\vec v=0\)) et forment une base directe (cohérent avec \(\sin\theta>0\)).