Première D · Leçon 17

Combinaisons, relations et binôme de Newton

Combinaisons

Combinaisons de \(p\) éléments parmi \(n\)

Une combinaison de \(p\) éléments pris parmi \(n\) est une partie à \(p\) éléments d'un ensemble à \(n\) éléments — contrairement à l'arrangement, l'ordre n'intervient pas. Leur nombre, noté \(\binom np\) (ou \(C_n^p\)), s'obtient en divisant le nombre d'arrangements par le nombre \(p!\) de façons de réordonner chaque groupe de \(p\) éléments :

\[ \binom np=\dfrac{A_n^p}{p!}=\dfrac{n!}{p!\,(n-p)!}. \]

Exemple

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Triangle de Pascal et formule du binôme

Relations à connaître (admises) \[ \binom np=\binom n{n-p} \qquad\text{et}\qquad \binom np+\binom n{p+1}=\binom{n+1}{p+1}. \]

La première traduit le fait que choisir \(p\) éléments à garder revient à choisir les \(n-p\) éléments à écarter. La seconde (« relation de Pascal ») permet de construire le triangle de Pascal, où chaque nombre est la somme des deux nombres juste au-dessus.

Formule du binôme de Newton \[ (a+b)^n=\sum_{k=0}^n\binom nk\,a^{n-k}b^k=\binom n0a^n+\binom n1a^{n-1}b+\cdots+\binom nnb^n. \]

Les coefficients \(\binom nk\) se lisent directement sur la ligne \(n\) du triangle de Pascal.

Figure — Triangle de Pascal (\(n=0\) à \(5\))

Chaque valeur est la somme des deux valeurs juste au-dessus (relation \(\binom np+\binom n{p+1}=\binom{n+1}{p+1}\)).

Exemple — développer \((x-2)^3\)

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