Première D · Leçon 3

Suites numériques — génération et comportement

Suites : définition, modes de génération

Définition — Suite numérique

Une suite \((u_n)\) est une liste ordonnée de réels indexée par les entiers. Deux façons courantes de la générer : \(u_n=f(n)\) (terme explicite en fonction du rang \(n\)), ou par récurrence : \(u_{n+1}=f(u_n)\) connaissant le premier terme.

On distingue bien le rang (la position \(n\)) de la valeur \(u_n\) elle-même. Attention à la notation indicielle : \(u_{n+3}\) est le terme de rang \(n+3\), pas \(u_n+3\).

Suites arithmétiques et géométriques

\((u_n)\) est arithmétique de raison \(a\) si \(u_{n+1}=u_n+a\) pour tout \(n\) (on ajoute toujours la même quantité). \((u_n)\) est géométrique de raison \(b\) si \(u_{n+1}=b\,u_n\) (on multiplie toujours par la même quantité).

Terme de rang \(p\) et somme des \(n\) premiers termes

Arithmétique (premier terme \(u_0\), raison \(a\)) :

\[ u_p = u_0+pa, \qquad u_0+u_1+\cdots+u_{n-1} = n\,\dfrac{u_0+u_{n-1}}{2}. \]

Géométrique (premier terme \(u_0\), raison \(b\ne1\)) :

\[ u_p = u_0\,b^p, \qquad u_0+u_1+\cdots+u_{n-1} = u_0\,\dfrac{1-b^n}{1-b}. \]

Cas particuliers utiles : \(1+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}\) et \(1+b+b^2+\cdots+b^n=\dfrac{1-b^{n+1}}{1-b}\) (\(b\ne1\)).

Exemples gradués

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Raisonnement par récurrence

Vocabulaire

\((u_n)\) est majorée par \(M\) si \(u_n\le M\) pour tout \(n\) (de même pour minorée). Elle est croissante si \(u_{n+1}\ge u_n\) pour tout \(n\) (décroissante si \(u_{n+1}\le u_n\)), périodique de période \(T\) si \(u_{n+T}=u_n\) pour tout \(n\).

Le raisonnement par récurrence

Pour démontrer qu'une propriété \(P(n)\) est vraie pour tout entier \(n\ge n_0\), il suffit de montrer :

a) Initialisation : \(P(n_0)\) est vraie.
b) Hérédité : pour un entier quelconque \(n\ge n_0\), si \(P(n)\) est vraie alors \(P(n+1)\) l'est aussi.
c) Conclusion : \(P(n)\) est vraie pour tout \(n\ge n_0\).

Méthode — Démontrer par récurrence que \(u_n\) est majorée

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Figure interactive — Termes d'une suite

Les points représentent \((n\,;\,u_n)\) pour \(n=0,\ldots,10\).