Première D · Leçon 9

Application de la dérivation à l'étude des fonctions

Signe de la dérivée, variations et extremums

Théorèmes admis

Soit \(f\) dérivable sur un intervalle \(I\) :

• si \(f'\) est nulle sur \(I\), alors \(f\) est constante sur \(I\) ;
• si \(f'\) est positive sur \(I\), alors \(f\) est croissante sur \(I\) ;
• si \(f'\) est négative sur \(I\), alors \(f\) est décroissante sur \(I\) ;
• si \(f\) admet un extremum local en un point \(a\) distinct des extrémités de \(I\), alors \(f'(a)=0\).

Exemple fil rouge — sens de variation

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Théorème de la bijection monotone

Théorème admis

Si \(f\) est dérivable sur \([a;b]\) (\(a<b\)) et si \(f'\) est strictement positive (ou strictement négative) sur \([a;b]\), alors \(f\) réalise une bijection de \([a;b]\) sur l'intervalle d'extrémités \(f(a)\) et \(f(b)\). Pour tout \(\lambda\) compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\), l'équation \(f(x)=\lambda\) admet alors une unique solution dans \([a;b]\). Énoncé analogue pour \(f\) décroissante.

Exemple fil rouge — application du théorème

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Figure — Bijection de \([2;4]\) sur \([3;5]\)

Les pointillés font correspondre chaque \(x\in[2;4]\) à un unique \(f(x)\in[3;5]\), et réciproquement.

Fonctions associées : changement d'origine, d'échelle, |f|

Obtenir la courbe d'une fonction associée

À partir de la courbe d'une fonction \(f\), on obtient graphiquement, sans nouveau calcul de dérivée :

• la courbe de \(f^+\) (partie positive, \(f^+(x)=f(x)\) si \(f(x)\geqslant0\), sinon \(0\)) en effaçant les portions où \(f\) est négative ;
• la courbe de \(|f|\) en repliant vers le haut, par symétrie d'axe \((Ox)\), les portions où \(f\) est négative ;
• la courbe de \(x\mapsto f(x+a)\) par translation horizontale de la courbe de \(f\).

Exemple. Pour \(f(x)=x^2-1\) (nulle en \(-1\) et \(1\), négative entre les deux) : \(f^+\) coïncide avec \(f\) hors de \([-1;1]\) et vaut \(0\) sur \([-1;1]\) ; \(|f|\) coïncide avec \(f\) hors de \([-1;1]\) et vaut \(1-x^2\) (symétrique par rapport à \((Ox)\)) sur \([-1;1]\) ; la courbe de \(x\mapsto f(x+2)=(x+2)^2-1\) est celle de \(f\) décalée de \(2\) vers la gauche.