Première D · Leçon 8

Dérivation en un point et sur un intervalle

Nombre dérivé, tangente et approximation affine

Nombre dérivé en un point

Le taux de variation de \(f\) entre \(a\) et \(a+h\) est \(\dfrac{f(a+h)-f(a)}h\). Si ce taux admet une limite finie quand \(h\to0\), cette limite est le nombre dérivé de \(f\) en \(a\), noté \(f'(a)\) :

\[ f'(a)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}h. \]

On dit alors que \(f\) est dérivable en \(a\). Le nombre \(f'(a)\) représente la vitesse instantanée de variation de \(f\) en \(a\).

Exemple — calcul direct par le taux de variation

Réservé aux abonnés Premium et Élève-Classe.

Voir les offres

Équation de la tangente

Si \(f\) est dérivable en \(a\), la courbe de \(f\) admet au point d'abscisse \(a\) une tangente de coefficient directeur \(f'(a)\), d'équation :

\[ y=f(a)+f'(a)(x-a). \]

Méthode — approximations affines usuelles

Réservé aux abonnés Premium et Élève-Classe.

Voir les offres

Dérivées usuelles et règles de calcul

Contenu Premium

Réservé aux abonnés Premium et Élève-Classe.

Voir les offres

Dérivées usuelles

Fonction	Dérivée
\(x^n\) (\(n\in\mathbb Z^*\))	\(nx^{n-1}\)
\(\sqrt x\)	\(\dfrac1{2\sqrt x}\)
\(\sin(ax+b)\)	\(a\cos(ax+b)\)
\(\cos(ax+b)\)	\(-a\sin(ax+b)\)
\(\tan(ax+b)\)	\(\dfrac a{\cos^2(ax+b)}\)
\(f(ax+b)\)	\(a\,f'(ax+b)\)

Règles de calcul

\((u+v)'=u'+v'\) ; \((\lambda u)'=\lambda u'\) ; \((uv)'=u'v+uv'\) ; \(\left(\dfrac1u\right)'=-\dfrac{u'}{u^2}\) ; \(\left(\dfrac uv\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\).

Exemple fil rouge — dérivée par la règle du quotient

Réservé aux abonnés Premium et Élève-Classe.

Voir les offres

Figure interactive — Tangente en un point mobile de la courbe

Faites glisser le point \(P\) le long de la courbe : la tangente et la valeur de \(f'(a)\) se mettent à jour en temps réel.