Première D · Leçon 10
Homothéties et translations
Homothéties et translations : caractérisation, réciproque, composition, expression analytique
Soit \(f\) une application du plan dans lui-même. \(f\) est une homothétie-translation si et seulement si il existe un réel \(k\neq0\) tel que, pour tout bipoint \((M,N)\) du plan, en notant \(M'=f(M)\) et \(N'=f(N)\) :
\[ \overrightarrow{M'N'}=k\,\overrightarrow{MN}. \]Si \(k=1\), \(f\) est une translation (de vecteur \(\overrightarrow{AA'}\), le même pour tout point \(A\)). Si \(k\neq1\), \(f\) est une homothétie de rapport \(k\) : elle admet un unique point fixe \(\Omega\) (son centre), et pour tout point \(M\) :
\[ \overrightarrow{\Omega M'}=k\,\overrightarrow{\Omega M}. \]Soit \(h\) l'homothétie de centre \(\Omega(1;-2)\) et de rapport \(k=2\). Déterminer l'image de \(A(4;1)\).
\[ \overrightarrow{\Omega A}=(3;3)\ \Rightarrow\ \overrightarrow{\Omega A'}=2\times(3;3)=(6;6)\ \Rightarrow\ A'=\Omega+(6;6)=(7;4). \]Figure interactive — Homothétie de centre \(\Omega\) et de rapport \(k\)
Faites glisser \(k\) : à \(k=1\) le triangle image coïncide avec l'original ; pour \(k<0\), l'image est retournée par rapport à \(\Omega\).
La réciproque d'une homothétie de centre \(\Omega\) et de rapport \(k\) est l'homothétie de même centre \(\Omega\) et de rapport \(\dfrac1k\). La réciproque d'une translation de vecteur \(\vec u\) est la translation de vecteur \(-\vec u\).
La composée \(f_1\circ f_2\) de rapports \(k_1\) et \(k_2\) vérifie \(\overrightarrow{M'N'}=k_1k_2\,\overrightarrow{MN}\) : c'est donc encore une homothétie-translation, de rapport \(k_1k_2\). Si \(k_1k_2\neq1\), c'est une homothétie (le centre se détermine sur des exemples, en calculant l'image d'un point) ; si \(k_1k_2=1\), c'est une translation.
\(h_1\) : centre \(A(0;0)\), rapport \(2\). \(h_2\) : centre \(B(3;0)\), rapport \(\dfrac12\). Comme \(2\times\dfrac12=1\), \(h_1\circ h_2\) est une translation. Pour tout point \(M(x;y)\) :
\[ h_2(M)=B+\tfrac12(M-B)=\left(\tfrac{x+3}2;\tfrac y2\right),\qquad h_1\bigl(h_2(M)\bigr)=2\times h_2(M)=(x+3;y). \]\(h_1\circ h_2\) est donc la translation de vecteur \(\vec u(3;0)\).
Translation de vecteur \(\vec u(p;q)\) : \(x'=x+p\), \(y'=y+q\). Homothétie de centre \(\Omega(a;b)\) et de rapport \(k\) : \(x'=a+k(x-a)\), \(y'=b+k(y-b)\).
Une translation conserve les distances (c'est une isométrie). Une homothétie de rapport \(k\) multiplie toutes les distances par \(|k|\) : elle conserve l'alignement, le parallélisme et l'orthogonalité, mais pas les distances (sauf si \(|k|=1\)).
Résumé
\(\overrightarrow{M'N'}=k\,\overrightarrow{MN}\) : translation si \(k=1\), homothétie sinon.
Homothétie \((\Omega,k)\to(\Omega,\frac1k)\) ; translation \(\vec u\to-\vec u\).
Rapport \(k_1k_2\) : homothétie si \(k_1k_2\neq1\), translation si \(k_1k_2=1\).
Distances multipliées par \(|k|\) ; alignement, parallélisme, orthogonalité conservés.
Sujet type devoir
Question 1. Soit \(h\) l'homothétie de centre \(\Omega(2;-1)\) et de rapport \(k=3\). Déterminer l'image de \(A(4;1)\).
\(\overrightarrow{\Omega A}=(2;2)\), donc \(\overrightarrow{\Omega A'}=3\times(2;2)=(6;6)\), soit \(A'=(2+6;-1+6)=(8;5)\).
Question 2. Déterminer le centre et le rapport de la réciproque de \(h\).
Même centre \(\Omega(2;-1)\), rapport \(\dfrac13\).
Question 3. \(h_1\) : centre \(A(1;0)\), rapport \(3\). \(h_2\) : centre \(B(0;2)\), rapport \(\dfrac13\). Montrer que \(h_1\circ h_2\) est une translation et déterminer son vecteur (en calculant l'image de \(O(0;0)\)).
\(3\times\dfrac13=1\), donc \(h_1\circ h_2\) est une translation. \(h_2(O)=B+\tfrac13(O-B)=(0;2)+\tfrac13(0;-2)=\left(0;\tfrac43\right)\). \(h_1\bigl(h_2(O)\bigr)=A+3\bigl(h_2(O)-A\bigr)=(1;0)+3\left(-1;\tfrac43\right)=(1;0)+(-3;4)=(-2;4)\). Le vecteur de translation est \(\overrightarrow{O\,h_1(h_2(O))}=(-2;4)\).