Statistiques : caractéristiques de dispersion

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Pour la série $4,6,6,8$, l'étendue vaut :
a) $2$   b) $4$   c) $6$   d) $8$

2) La formule simplifiée de la variance est :
a) $V=\left(\dfrac1n\sum x_i^2\right)-\bar x$   b) $V=\left(\dfrac1n\sum x_i^2\right)-\bar x^2$   c) $V=\bar x^2-\left(\dfrac1n\sum x_i^2\right)$   d) $V=\dfrac1n\sum(x_i-\bar x)$

3) L'écart-type $\sigma$ est égal à :
a) $V^2$   b) $\sqrt V$   c) $\dfrac Vn$   d) $nV$

4) Pour la série $2,2,2,2$, la variance vaut :
a) $0$   b) $2$   c) $4$   d) indéfinie

Exercice 2 — Situation d'intégration

Une coopérative maraîchère de la vallée du Kou relève, le même jour, le prix de vente (en francs CFA) du kilogramme de tomate sur $5$ marchés partenaires : $250$, $275$, $260$, $245$, $270$.

Avant de fixer un prix de référence commun à tous les marchés, la coopérative veut vérifier si ces prix sont suffisamment homogènes. Elle a fixé comme critère : si l'écart-type des prix dépasse $15$ FCFA, les prix sont jugés trop dispersés pour fixer un prix unique.

Consigne : Calculer le prix moyen, la variance (à l'aide de la formule simplifiée) puis l'écart-type de cette série (arrondi au centième), et conclure si la coopérative peut fixer un prix de référence unique.

Problème — On compare les précipitations mensuelles (en mm) de deux régions sur $4$ mois.

Région A : $80$, $85$, $75$, $80$. Région B : $40$, $100$, $60$, $120$.

Partie A. Calculer la moyenne, l'étendue, l'écart-moyen, la variance (formule simplifiée) et l'écart-type de la région A.

Partie B. Calculer les mêmes caractéristiques pour la région B.

Partie C. Comparer les deux régions et conclure sur celle qui présente le risque agricole lié à l'irrégularité des pluies le plus élevé.

Une enquête auprès de 40 élèves d'un lycée donne la durée \(x\) de leur trajet quotidien entre la maison et le lycée, en minutes :

1) Calcule l'étendue et la durée moyenne \(\bar{x}\) de cette série.

2) Calcule l'écart moyen \(e\) de la série et interprète-le.

3) Calcule la variance \(V\) à partir de la définition, puis vérifie le résultat avec la formule \(V=\dfrac{1}{N}\sum n_i x_i^2-\bar{x}^2\). Déduis-en l'écart-type \(\sigma\) (arrondi au centième).

4) Détermine le pourcentage d'élèves dont la durée de trajet appartient à l'intervalle \([\bar{x}-\sigma;\bar{x}+\sigma]\).

5) Pendant la saison des pluies, toutes les durées sont multipliées par 1,2. Sans refaire tout le tableau, calcule la nouvelle moyenne, la nouvelle variance et le nouvel écart-type. Justifie ta méthode.

Les notes de cinq élèves à un devoir sont \(3\), \(5\), \(x\), \(y\) et \(13\), avec \(x\lt y\). Le professeur a effacé \(x\) et \(y\) par erreur, mais il sait que la moyenne des cinq notes est 7 et que leur variance est \(11{,}6\).

1) Démontre que \(x+y=14\) et que \((x-7)^2+(y-7)^2=2\).

2) Résous le système obtenu et retrouve les notes \(x\) et \(y\).

3) Calcule l'étendue, l'écart moyen \(e\) et l'écart-type \(\sigma\) de la série (arrondi au millième). Compare \(e\) et \(\sigma\).

4) Un sixième élève, absent, compose plus tard et obtient 7. Calcule la nouvelle moyenne et la nouvelle variance de la série des six notes.

5) Plus généralement, démontre que si l'on ajoute à une série de \(N\) valeurs, de moyenne \(\bar{x}\) et de variance \(V\gt 0\), une valeur égale à \(\bar{x}\), la moyenne ne change pas et la nouvelle variance vaut \(\dfrac{N}{N+1}V\). Interprète.

Une étude porte sur la consommation journalière d'eau de 50 ménages d'un quartier, en litres :

On remplace chaque classe par son centre.

1) Donne les centres des classes et l'étendue de la série, puis calcule la consommation moyenne \(\bar{x}\).

2) Calcule la variance \(V\) de deux façons et l'écart-type \(\sigma\) (arrondi au centième).

3) Calcule l'écart moyen \(e\) et vérifie que \(e\lt\sigma\).

4) Une campagne de sensibilisation conduit chaque ménage à réduire sa consommation de 10 %. Détermine la nouvelle moyenne, la nouvelle variance et le nouvel écart-type, en justifiant.

5) Dans un second quartier, la consommation moyenne est de 90 L avec un écart-type de 18 L. En comparant le rapport \(\dfrac{\sigma}{\bar{x}}\) des deux quartiers (avant la campagne), dis lequel a les consommations les plus homogènes. Justifie pourquoi il ne suffit pas de comparer les écarts-types.

On considère la série statistique suivante :

Pour tout réel \(t\), on pose \(f(t)=\dfrac{1}{10}\sum n_i(x_i-t)^2\), moyenne des carrés des écarts entre les valeurs et le nombre \(t\).

1) Calcule l'étendue et la moyenne \(\bar{x}\) de la série.

2) Démontre que \(f(t)=t^2-10t+30\).

3) Étudie les variations de \(f\) à l'aide de sa dérivée. Démontre que \(f\) atteint son minimum en \(t=\bar{x}\), puis interprète ce minimum : que représente-t-il pour la série ?

4) Déduis-en l'écart-type \(\sigma\). Calcule l'écart moyen \(e\) et compare-le à \(\sigma\).

5) À la suite d'une erreur de saisie, la valeur 10 est remplacée par 20. Calcule la nouvelle moyenne, la nouvelle variance et le nouvel écart-type. Que peux-tu dire de la sensibilité de la variance à une valeur extrême ?