Première D · Leçon 13
Sections planes des polyèdres usuels
Exercices corrigés
QCM — Sections planes des polyèdres
Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)
1) Deux points d'une section plane sont situés sur une même face d'un polyèdre. Pour tracer la section sur cette face, on :
a) les relie par un arc b) les relie par un segment direct c) ne peut rien tracer d) doit connaître un 3ᵉ point
2) Un plan sécant coupe deux faces parallèles d'un cube. Les deux traces obtenues sur ces faces sont :
a) sécantes b) parallèles c) confondues d) perpendiculaires
3) $I,J,K$ sont les milieux de trois arêtes de longueur $a$ issues d'un même sommet d'un cube. La longueur $IJ$ vaut :
a) $a\sqrt2$ b) $\dfrac{a}{\sqrt2}$ c) $a$ d) $\dfrac{a^2}{2}$
4) Le triangle $IJK$ formé par trois milieux d'arêtes issues d'un même sommet d'un cube est :
a) rectangle b) isocèle non équilatéral c) équilatéral d) quelconque
Voir le corrigé
- Réponse : b. Deux points de la section déjà situés sur une même face se relient directement par un segment, qui est un côté de la section.
- Réponse : b. Un même plan coupe deux faces parallèles selon deux droites parallèles.
- Réponse : b. Dans le triangle rectangle formé par les deux demi-arêtes de longueur $a/2$ : $IJ=\sqrt{(a/2)^2+(a/2)^2}=\sqrt{a^2/2}=\dfrac{a}{\sqrt2}$.
- Réponse : c. Les trois arêtes issues d'un même sommet d'un cube sont de même longueur et deux à deux perpendiculaires : les trois côtés de $IJK$ sont égaux, le triangle est équilatéral.
Situation d'intégration — Chanfrein d'un bloc de béton
Exercice 2 — Situation d'intégration
Un maçon doit couper le coin d'un bloc de béton cubique d'arête $20$ cm selon un plan passant par les milieux de trois arêtes issues d'un même sommet, afin de créer un chanfrein décoratif pour un rebord de fenêtre.
L'architecte a fixé une tolérance : la surface de béton retirée par cette découpe (l'aire du triangle formé par la section) ne doit pas dépasser $150$ cm², pour ne pas fragiliser l'angle du bloc.
Consigne : Déterminer la longueur d'un côté du triangle formé par la section, calculer son aire, et vérifier si la découpe respecte la tolérance fixée par l'architecte.
Voir le corrigé
- Longueur d'un côté. $IJ=\dfrac{a}{\sqrt2}=\dfrac{20}{\sqrt2}=10\sqrt2\approx14{,}14$ cm — le triangle $IJK$ est équilatéral de côté $10\sqrt2$ cm.
- Aire du triangle équilatéral. $\mathcal A=\dfrac{\sqrt3}{4}\times(10\sqrt2)^2=\dfrac{\sqrt3}{4}\times200=50\sqrt3\approx86{,}6$ cm².
- Conclusion. $86{,}6$ cm² $<150$ cm² : la découpe respecte largement la tolérance fixée par l'architecte.
Section d’un cube par le plan \((AFH)\)
\(ABCDEFGH\) est un cube d'arête \(4\) cm : \(ABCD\) est la face du dessous et \(E\), \(F\), \(G\), \(H\) sont situés respectivement au-dessus de \(A\), \(B\), \(C\), \(D\).
1) Justifie que \([AF]\), \([FH]\) et \([HA]\) sont des diagonales de faces du cube, et déduis-en la section du cube par le plan \((AFH)\).
2) Calcule la longueur de ces diagonales et donne la nature de la section.
3) Calcule l'aire de cette section, au centième près.
Deux sections d’un pavé droit
\(ABCDEFGH\) est un pavé droit avec \(AB=6\) cm, \(AD=4\) cm et \(AE=3\) cm (même disposition des sommets que pour un cube : \(E\), \(F\), \(G\), \(H\) au-dessus de \(A\), \(B\), \(C\), \(D\)).
1) Le plan \(\mathcal{P}\) parallèle à la face \(ABCD\) passe par le point \(M\) de \([AE]\) tel que \(AM=1\) cm. Donne la nature et l'aire de la section du pavé par \(\mathcal{P}\).
2) Justifie que les points \(A\), \(B\), \(G\), \(H\) sont coplanaires.
3) Montre que la section du pavé par le plan \((ABG)\) est un rectangle, puis calcule \(BG\) et l'aire de cette section.
Une section en trapèze
\(ABCDEFGH\) est un cube d'arête \(6\) cm (même disposition des sommets). \(I\) est le milieu de \([AB]\) et \(J\) celui de \([BC]\).
1) Démontre que \((IJ)\parallel(AC)\) et que \((AC)\parallel(EG)\).
2) Déduis-en que le point \(E\) appartient au plan \((IJG)\), puis que la section du cube par ce plan est le quadrilatère \(IJGE\).
3) Calcule \(IJ\), \(EG\), \(IE\) et \(JG\). Quelle est la nature de \(IJGE\) ?
4) Calcule la hauteur de ce trapèze, puis son aire.
Un hexagone régulier caché dans un cube
\(ABCDEFGH\) est un cube d'arête 6 cm : \(ABCD\) est la face du bas et \(E\), \(F\), \(G\), \(H\) sont respectivement au-dessus de \(A\), \(B\), \(C\), \(D\). On note \(I\), \(J\), \(K\) les milieux respectifs des arêtes \([AB]\), \([BC]\), \([CG]\), et \(P\) le plan \((IJK)\).
1) Justifie que \(P\) coupe la face \(ABCD\) suivant le segment \([IJ]\) et la face \(BCGF\) suivant \([JK]\). Démontre que \((IJ)\) est parallèle à \((AC)\) et calcule \(IJ\).
2) La droite \((IJ)\) coupe la droite \((DC)\) en \(R\). Démontre que \(CR=3\) cm.
3) Dans le plan de la face \(CDHG\), la droite \((RK)\) coupe \([GH]\) en \(L\). Démontre que \(L\) est le milieu de \([GH]\).
4) En utilisant le parallélisme des faces opposées du cube, démontre que \(P\) coupe \([HE]\) en son milieu \(M\) et \([EA]\) en son milieu \(N\). Quelle est la nature de la section du cube par \(P\) ? Démontre que ses six côtés ont la même longueur.
5) Soit \(O\) le centre du cube. Démontre que \(O\) est le milieu de \([IL]\), de \([JM]\) et de \([KN]\), puis que la section est un hexagone régulier. Calcule son aire.
Section d'un tétraèdre régulier : une aire à maximiser
\(ABCD\) est un tétraèdre régulier d'arête 6 cm. Pour \(0\lt t\lt 6\), on place le point \(M\) de \([AC]\) tel que \(AM=t\), et on note \(P\) le plan passant par \(M\) et parallèle aux droites \((AB)\) et \((CD)\).
1) Justifie que \(P\) coupe la face \(ABC\) suivant la parallèle à \((AB)\) passant par \(M\), qui coupe \([BC]\) en \(N\), et la face \(ACD\) suivant la parallèle à \((CD)\) passant par \(M\), qui coupe \([AD]\) en \(Q\). Explique comment on obtient le quatrième sommet \(R\) de la section, sur \([BD]\).
2) Exprime \(MN\) et \(MQ\) en fonction de \(t\). Démontre que \(MNRQ\) est un parallélogramme dont le périmètre ne dépend pas de \(t\).
3) Soit \(I\) le milieu de \([CD]\). Démontre que la droite \((CD)\) est orthogonale au plan \((ABI)\), puis que \((AB)\) et \((CD)\) sont orthogonales. Déduis-en la nature de \(MNRQ\).
4) Exprime l'aire \(\mathcal{A}(t)\) de la section, étudie ses variations sur \(]0;6[\) à l'aide de la dérivée et détermine la position de \(M\) pour laquelle l'aire est maximale. Quelle est alors la nature de la section ?
5) Pour quelles positions de \(M\) l'aire de la section vaut-elle 5 cm² ?
La pyramide de l'artisan
Un artisan taille dans du bois dur une pyramide régulière \(SABCD\) destinée à servir de presse-papier. Sa base est le carré \(ABCD\) de côté 8 cm et de centre \(O\), et sa hauteur est \(SO=6\) cm. On note \(I\) le milieu de \([AB]\).
1) Calcule la longueur \(SA\) d'une arête latérale et la hauteur \(SI\) d'une face latérale.
2) L'artisan scie la pyramide suivant le plan \(P\) parallèle à la base passant par le milieu \(O'\) de \([SO]\). Démontre que la section \(A'B'C'D'\) est l'image de \(ABCD\) par une homothétie de centre \(S\) dont tu préciseras le rapport. Déduis-en sa nature et son aire.
3) Calcule le volume de la pyramide \(SABCD\), celui de la petite pyramide \(SA'B'C'D'\) et celui du tronc de pyramide restant.
4) Sur une autre pyramide identique, l'artisan fait une coupe suivant le plan \((SAC)\). Quelle est la nature de la section ? Calcule son aire.
5) Pour une troisième pièce, il veut une section parallèle à la base d'aire 36 cm². À quelle hauteur au-dessus de la base doit-il scier ?
Construire la section d'un tétraèdre par trois points
\(ABCD\) est un tétraèdre. \(I\) est le milieu de \([AB]\), \(J\) le point de \([AC]\) tel que \(\overrightarrow{AJ}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}\) et \(K\) le milieu de \([CD]\). On cherche la section du tétraèdre par le plan \(P=(IJK)\).
1) Justifie que \(P\) coupe la face \(ABC\) suivant \([IJ]\) et la face \(ACD\) suivant \([JK]\).
2) Soit \(L\) le point tel que \(\overrightarrow{BL}=2\,\overrightarrow{BC}\). Exprime \(\overrightarrow{IJ}\) et \(\overrightarrow{IL}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\), et démontre que \(\overrightarrow{IL}=3\,\overrightarrow{IJ}\). Déduis-en que \(L\) est le point d'intersection des droites \((IJ)\) et \((BC)\).
3) Soit \(M\) le point de \([BD]\) tel que \(\overrightarrow{BM}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BD}\). Démontre que \(L\), \(K\) et \(M\) sont alignés, et déduis-en que \(P\) coupe la face \(BCD\) suivant \([KM]\).
4) Déduis-en la section du tétraèdre par \(P\) en précisant sa trace sur chacune des quatre faces.
5) Démontre que les droites \((IJ)\) et \((KM)\) ne sont pas parallèles. En raisonnant par l'absurde, démontre que \((JK)\) et \((IM)\) ne sont pas parallèles. La section est-elle un trapèze ?