Rotations

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) La réciproque de la rotation de centre $O$ et d'angle $65°$ est :
a) la rotation de centre $O$, angle $65°$   b) la rotation de centre $O$, angle $-65°$   c) la rotation de centre $O$, angle $115°$   d) une translation

2) $r_1$ : rotation de centre $O$, angle $30°$. $r_2$ : rotation de centre $O$, angle $80°$. $r_2\circ r_1$ est :
a) la rotation de centre $O$, angle $50°$   b) la rotation de centre $O$, angle $110°$   c) la rotation de centre $O$, angle $-50°$   d) une homothétie

3) L'expression analytique de la symétrie orthogonale par rapport à l'axe $(Oy)$ est :
a) $(x;y)\mapsto(x;-y)$   b) $(x;y)\mapsto(-x;y)$   c) $(x;y)\mapsto(-x;-y)$   d) $(x;y)\mapsto(y;x)$

4) Une rotation conserve :
a) uniquement les distances   b) uniquement les angles   c) les distances et les angles   d) rien de particulier

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) La réflexion $s$ d'axe $(Ox)$ a pour réciproque :
a) $s$ elle-même   b) la réflexion d'axe $(Oy)$   c) l'identité   d) une translation

2) $s$ d'axe $(Ox)$. L'image de $M(7;-3)$ est :
a) $(7;3)$   b) $(-7;-3)$   c) $(-7;3)$   d) $(3;7)$

3) Si $(D_1)\parallel(D_2)$, la composée $s_{D_2}\circ s_{D_1}$ est :
a) une rotation   b) une translation   c) une homothétie   d) une réflexion

4) Une réflexion transforme l'angle orienté $(\vec u,\vec v)$ en :
a) $(\vec u,\vec v)$   b) $-(\vec u,\vec v)$   c) $2(\vec u,\vec v)$   d) $\dfrac{(\vec u,\vec v)}2$

Exercice 2 — Situation d'intégration

Un artisan conçoit un motif décoratif circulaire pour une porte en fer forgé, en répétant un même triangle par rotations successives de même centre $O$ (centre du motif). Le premier triangle a un sommet en $P(6;0)$. L'artisan veut répartir $3$ copies du triangle (dont l'original) régulièrement sur le cercle complet.

Consigne : Déterminer l'angle de chaque rotation successive pour obtenir une répartition régulière en $3$ copies, puis calculer les coordonnées du sommet $P$ après la première rotation (donner les valeurs exactes, ainsi qu'un arrondi à $0{,}01$ près). Justifier enfin que la composée des $3$ rotations successives ramène le point $P$ exactement à sa position initiale.

Exercice 2 — Situation d'intégration

Un architecte conçoit la façade symétrique d'un bâtiment administratif. L'axe de symétrie de la façade correspond à la droite $(D)$ : $x=6$ (mètres, repère orthonormé lié au plan). Une fenêtre $F$ est positionnée en $(2;3)$.

Consigne : Déterminer les coordonnées de la fenêtre $F'$ à placer pour respecter la symétrie de la façade par rapport à $(D)$, puis vérifier que la distance de $F$ à $(D)$ est bien égale à la distance de $F'$ à $(D)$.

Problème — Dans un repère orthonormé $(O;\vec\imath,\vec\jmath)$, soit $r$ la rotation de centre $O$ et d'angle $90°$, et $s$ la symétrie orthogonale par rapport à l'axe $(Ox)$.

Partie A. 1) On admettra que $r$ a pour expression analytique $(x;y)\mapsto(-y;x)$. Vérifier la cohérence de cette expression sur le point $(1;0)$ (l'image doit être un point à distance $1$ de $O$, obtenu par une rotation d'un quart de tour). 2) Donner l'expression analytique de $s$.

Partie B. Soit $M(3;-2)$. 1) Calculer les coordonnées de $r(M)$. 2) Calculer les coordonnées de $s\bigl(r(M)\bigr)$ (composée $s\circ r$ appliquée à $M$). 3) Calculer les coordonnées de $r\bigl(s(M)\bigr)$ (composée $r\circ s$). Les deux composées donnent-elles le même résultat ?

Partie C. Sachant que $r$ et $s$ sont toutes deux des isométries fixant $O$, que peut-on dire des distances $OM$ et $O\bigl[s\circ r(M)\bigr]$ ? Vérifier ce résultat par le calcul.

Problème — Un artisan orne une grille en fer forgé à l'aide des deux réflexions $(D_1)=(Ox)$ et $(D_2)$ : $y=x$.

Partie A. Donner l'expression analytique de $s_{D_1}$ et de $s_{D_2}$.

Partie B. Soit $M(4;1)$. 1) Calculer $s_{D_1}(M)$. 2) Calculer $s_{D_2}(s_{D_1}(M))$. 3) Quelle est la nature de $s_{D_2}\circ s_{D_1}$ ? Vérifier que le résultat du 2) est cohérent avec cette nature.

Partie C. Le fabricant veut orner un second point $N(0;3)$ avec la même transformation composée. Calculer l'image de $N$ par $s_{D_2}\circ s_{D_1}$.

Le plan est orienté. \(ABC\) est un triangle de sens direct. À l'extérieur du triangle, on construit les carrés \(ABDE\) et \(ACFG\) tels que \((\overrightarrow{AE},\overrightarrow{AB})=\dfrac{\pi}{2}\) et \((\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AG})=\dfrac{\pi}{2}\) (mesures en radians, modulo \(2\pi\)). On note \(r\) la rotation de centre \(A\) et d'angle \(\dfrac{\pi}{2}\).

1) Démontre que \(r(E)=B\) et \(r(C)=G\).

2) Déduis-en que \(EC=BG\) et que les droites \((EC)\) et \((BG)\) sont perpendiculaires.

3) Précise la réciproque \(r^{-1}\). On note \(I\) le milieu de \([EC]\) et \(J\) celui de \([BG]\) : démontre que le triangle \(AIJ\) est rectangle isocèle en \(A\).

4) Justifie que \((\overrightarrow{AE},\overrightarrow{AD})=\dfrac{\pi}{4}\), puis démontre que \(r=s_{(AD)}\circ s_{(AE)}\), où \(s_{(AD)}\) et \(s_{(AE)}\) désignent les réflexions d'axes \((AD)\) et \((AE)\).

5) Application : dans un repère orthonormé direct, \(A(0;0)\), \(B(4;0)\), \(C(1;3)\). Calcule les coordonnées de \(E\) et de \(G\), puis vérifie par le calcul les résultats de la question 2.

Le plan est muni d'un repère orthonormé direct \((O;\vec{i},\vec{j})\). On considère les points \(A(0;0)\) et \(B(4;0)\), la rotation \(r_1\) de centre \(A\) et d'angle \(\dfrac{\pi}{2}\) et la rotation \(r_2\) de centre \(B\) et d'angle \(\dfrac{\pi}{2}\).

1) Démontre que \(r_1\) a pour expression analytique \(x'=-y\), \(y'=x\), puis que \(r_2\) a pour expression \(x'=-y+4\), \(y'=x-4\).

2) On pose \(f=r_2\circ r_1\). Donne l'expression analytique de \(f\) et démontre que \(f\) est une symétrie centrale dont tu préciseras le centre \(I\).

3) Vérifie que le triangle \(AIB\) est rectangle isocèle en \(I\) et donne une mesure de l'angle orienté \((\overrightarrow{IA},\overrightarrow{IB})\).

4) Soit \(d_A\) la droite d'équation \(y=-x\) et \(d_B\) la droite d'équation \(y=x-4\). Justifie que \(r_1=s_{(AB)}\circ s_{d_A}\) et \(r_2=s_{d_B}\circ s_{(AB)}\). Retrouve alors le résultat de la question 2 sans calcul de coordonnées.

5) Donne l'expression de \(r_1^{-1}\) et détermine le point \(P\) tel que \(r_1(P)=B\). Que vaut \(f^{-1}\) ? Calcule l'image par \(f\) du point \(C(3;5)\).

Pour arroser ses planches, un maraîcher utilise une roue à godets : une roue verticale de rayon 2 m, qui tourne autour de son axe \(\Omega\) dans le sens direct et porte 8 godets \(B_0\), \(B_1\), …, \(B_7\) régulièrement répartis. Dans un repère orthonormé direct \((\Omega;\vec{i},\vec{j})\) d'unité le mètre, l'axe \(\vec{j}\) étant vertical vers le haut, \(B_0\) est en \((2;0)\) et \(B_{k+1}=r(B_k)\), où \(r\) est la rotation de centre \(\Omega\) et d'angle \(\dfrac{\pi}{4}\).

1) Justifie que \(B_k\) est l'image de \(B_0\) par la rotation de centre \(\Omega\) et d'angle \(\dfrac{k\pi}{4}\). Donne les coordonnées de \(B_2\), \(B_4\) et \(B_6\).

2) Démontre que \(r\) a pour expression analytique \(x'=\dfrac{\sqrt{2}}{2}(x-y)\), \(y'=\dfrac{\sqrt{2}}{2}(x+y)\), et calcule les coordonnées de \(B_1\) et de \(B_3\).

3) La roue fait un tour complet en 40 secondes. Quelle est la mesure de l'angle dont elle a tourné au bout de 25 secondes ? Où se trouve alors le godet parti de \((2;0)\) ?

4) L'axe \(\Omega\) est à \(\sqrt{2}\) m au-dessus de la surface de l'eau. Un godet placé à l'angle \(\theta\), c'est-à-dire en \((2\cos\theta;2\sin\theta)\), est sous l'eau lorsque sa hauteur au-dessus de l'eau est négative. Pour quelles valeurs de \(\theta\) dans \([0;2\pi[\) un godet est-il sous l'eau ? Pendant combien de secondes par tour ?

5) Démontre que la composée \(s_{(\Omega y)}\circ s_{(\Omega x)}\) des réflexions d'axes \((\Omega x)\) et \((\Omega y)\) est la symétrie de centre \(\Omega\) et qu'elle est égale à \(r\circ r\circ r\circ r\). Quel godet occupe la position symétrique de \(B_1\) par rapport à \(\Omega\) ?

Le plan est orienté. \(ABC\) est un triangle équilatéral de sens direct : \((\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA})=(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB})=\dfrac{\pi}{3}\). On note \(r_A\), \(r_B\), \(r_C\) les rotations de centres respectifs \(A\), \(B\), \(C\) et de même angle \(\dfrac{2\pi}{3}\).

1) Démontre que \(r_A=s_{(AC)}\circ s_{(AB)}\).

2) Démontre que \(r_B=s_{(AB)}\circ s_{(BC)}\).

3) Déduis-en que \(r_A\circ r_B=s_{(AC)}\circ s_{(BC)}\), puis que \(r_A\circ r_B\) est la rotation de centre \(C\) et d'angle \(-\dfrac{2\pi}{3}\).

4) Démontre que \(r_C\circ r_A\circ r_B\) est l'application identique du plan.

5) Soit \(D=r_B(A)\) et \(E=r_A(D)\). Démontre que \(D\) est le symétrique de \(C\) par rapport à \(B\), puis que \(E\) est le symétrique de \(B\) par rapport à \(C\).