Parallélisme, orthogonalité et sphère

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Sphère de centre $O$ et de rayon $R=10$. Un plan $P$ est à distance $d=6$ de $O$. La section est :
a) un cercle de rayon $8$   b) un point unique   c) vide   d) un cercle de rayon $6$

2) Si $d=R$, le plan $P$ est :
a) sécant   b) tangent   c) extérieur   d) confondu avec la sphère

3) Pour montrer qu'une droite est orthogonale à un plan, il suffit de montrer qu'elle est orthogonale à :
a) une droite du plan   b) deux droites parallèles du plan   c) deux droites sécantes du plan   d) toutes les droites du plan, une par une

4) Sphère de rayon $R=7$. Un plan $P$ est à distance $d=9$ de son centre. La section est :
a) un cercle   b) un point   c) vide (plan extérieur)   d) indéterminée

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Deux droites de l'espace non coplanaires :
a) n'ont aucun point commun et ne sont pas parallèles   b) sont toujours parallèles   c) sont toujours sécantes   d) sont confondues

2) Pour montrer qu'une droite $d$ est parallèle à un plan $\mathcal P$, il suffit de montrer que :
a) $d$ est parallèle à une droite contenue dans $\mathcal P$   b) $d$ est perpendiculaire à $\mathcal P$   c) $d$ ne rencontre aucun point de l'espace   d) $d$ est contenue dans un autre plan

3) Le plan médiateur d'un segment $[AB]$ est l'ensemble des points :
a) équidistants de $A$ et de $B$   b) alignés avec $A$ et $B$   c) situés sur la droite $(AB)$   d) situés au milieu de $[AB]$ uniquement

4) Dans la perspective cavalière, les arêtes cachées sont tracées :
a) en pointillés   b) en trait plein plus épais   c) en couleur   d) elles ne sont pas représentées

Exercice 2 — Situation d'intégration

Un château d'eau de forme sphérique, de rayon $6$ m, alimente un village. Une canalisation horizontale traverse le terrain dans un plan situé à $4{,}5$ m du centre du réservoir, et coupe donc la sphère selon un cercle.

Le cahier des charges de l'entreprise de construction impose qu'au niveau de cette canalisation, le cercle d'intersection ait un rayon d'au moins $4$ m, afin de garantir suffisamment d'espace pour les supports structurels du réservoir.

Consigne : Calculer le rayon du cercle formé par l'intersection du plan et de la sphère (arrondi au centième), puis dire si l'installation respecte l'exigence du cahier des charges.

Exercice supplémentaire. Un ingénieur d'un chantier de forage représente un réservoir cubique $ABCDEFGH$ ($ABCD$ face du dessous, $EFGH$ face du dessus juste au-dessus, avec $E$ au-dessus de $A$, $F$ au-dessus de $B$, $G$ au-dessus de $C$, $H$ au-dessus de $D$).

1) Les droites $(AB)$ et $(EF)$ sont-elles parallèles, sécantes, ou non coplanaires ?
2) Les droites $(AB)$ et $(CG)$ le sont-elles ?
3) Quelle est la position relative du plan $(ABC)$ et de la droite $(EH)$ ?

Problème — Une sphère de centre $O$ a pour rayon $R=17$.

Partie A. 1) Un plan $P_1$ est situé à distance $d_1=8$ de $O$. Quelle est la nature de la section ? Donner son rayon exact. 2) Un plan $P_2$ est situé à distance $d_2=17$ de $O$. Quelle est la nature de la section ?

Partie B. On considère à présent un plan $P_3$ dont on sait qu'il coupe la sphère selon un cercle de rayon $r_3=15$. 1) Calculer la distance $d_3$ du centre $O$ au plan $P_3$. 2) Comparer $d_3$ et $d_1$ (de la Partie A) et en déduire lequel des deux plans, $P_1$ ou $P_3$, est le plus proche du centre $O$.

ABCDEFGH est un cube : ABCD est la face du bas, E, F, G et H sont situés respectivement au-dessus de A, B, C et D (les arêtes [AE], [BF], [CG] et [DH] sont verticales). On note I le milieu de [AB] et J le milieu de [AD].

1) Démontre que les droites (IJ) et (BD) sont parallèles, puis que (IJ) et (FH) sont parallèles. Déduis-en que les points I, J, H et F sont coplanaires.

2) Démontre que la droite (BD) est orthogonale au plan (ACG).

3) Déduis-en que (BD) est orthogonale à (CE), puis que (IJ) est orthogonale à (CE).

4) Démontre que la droite (BG) est orthogonale au plan (CDE), puis que (BG) est orthogonale à (CE).

5) Démontre que la droite (CE) est orthogonale au plan (BDG). Interprète ce résultat.

L'espace est muni d'un repère orthonormé \((O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})\), l'unité étant le décimètre ; le sol est le plan d'équation \(z=0\). Un artisan fabrique une lampe dont le globe est la sphère \(S\) d'équation \(x^2+y^2+z^2-12z+11=0\).

1) Démontre que \(S\) est une sphère dont tu préciseras le centre \(\Omega\) et le rayon \(R\). À quelles hauteurs se trouvent le point le plus bas et le point le plus haut du globe ?

2) Le globe repose sur un anneau situé dans le plan \(P_1\) d'équation \(z=3\). Détermine la nature et les éléments caractéristiques de l'intersection de \(S\) et de \(P_1\). Quel doit être le diamètre de l'anneau ?

3) Vérifie que le point \(T(0;3;10)\) appartient à \(S\).

4) On fixe en \(T\) un petit réflecteur plan \(P\), perpendiculaire à la droite \((\Omega T)\). Démontre qu'une équation de \(P\) est \(3y+4z-49=0\), puis démontre que \(P\) et \(S\) n'ont que le point \(T\) en commun.

5) Le plafond est le plan d'équation \(z=12\). Le globe touche-t-il le plafond ? Justifie et interprète.

L'espace est muni d'un repère orthonormé. On donne les points \(A(1;2;-1)\) et \(B(3;0;1)\), et on note \(S\) la sphère de diamètre \([AB]\), de centre \(I\).

1) Détermine les coordonnées de \(I\) et le rayon de \(S\). Démontre que, pour tout point \(M\), \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=MI^2-IA^2\), et déduis-en que \(M\in S\) si et seulement si \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0\).

2) Déduis-en une équation cartésienne de \(S\) et vérifie-la à l'aide du centre et du rayon.

3) Vérifie que \(C(1;0;1)\) appartient à \(S\). Démontre que le triangle \(ABC\) est rectangle en \(C\) et calcule son aire.

4) Détermine l'intersection de \(S\) avec le plan d'équation \(z=1\). Vérifie que \(B\) et \(C\) appartiennent à cette intersection.

5) Détermine une équation du plan \(P_A\) tangent à \(S\) en \(A\) et du plan \(P_B\) tangent à \(S\) en \(B\). Démontre que ces deux plans sont parallèles et justifie géométriquement ce résultat.

Un poteau vertical \([AB]\) de 4 m est planté au point \(B\) d'un terrain plat. Sur le terrain, on repère deux points \(C\) et \(D\) tels que le triangle \(BCD\) soit rectangle en \(C\), avec \(BC=3\) m et \(CD=12\) m. On obtient ainsi le tétraèdre \(ABCD\), où la droite \((AB)\) est orthogonale au plan \((BCD)\). On note \(I\), \(J\), \(K\) les milieux respectifs de \([AB]\), \([AC]\) et \([AD]\).

1) Démontre que la droite \((CD)\) est orthogonale à la droite \((AB)\).

2) Démontre que la droite \((CD)\) est orthogonale au plan \((ABC)\). Déduis-en que le triangle \(ACD\) est rectangle en \(C\).

3) Calcule \(AC\) puis \(AD\). Vérifie le résultat en calculant \(AD\) d'une autre façon, à l'aide du triangle \(ABD\).

4) Démontre que le plan \((IJK)\) est parallèle au plan \((BCD)\) et que la droite \((JK)\) est orthogonale au plan \((ABC)\).

5) Démontre que le triangle \(IJK\) est rectangle en \(J\), calcule son aire et compare-la à celle du triangle \(BCD\).