Homothéties et translations

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Une homothétie de rapport $k=1$ est en réalité :
a) une rotation   b) une translation   c) une symétrie   d) l'identité seulement si le centre est l'origine

2) Soit $h$ l'homothétie de centre $\Omega(0;0)$ et de rapport $k=-2$. L'image de $A(3;1)$ est :
a) $(-6;-2)$   b) $(6;2)$   c) $(-3;-1)$   d) $(1;3)$

3) La réciproque d'une homothétie de centre $\Omega$ et de rapport $k=4$ est :
a) l'homothétie de centre $\Omega$, rapport $-4$   b) l'homothétie de centre $\Omega$, rapport $\dfrac14$   c) la translation de vecteur $\overrightarrow{\Omega\Omega}$   d) l'homothétie de centre $\Omega$, rapport $4$

4) $h_1$ de rapport $k_1=3$ et $h_2$ de rapport $k_2=\dfrac13$ (centres distincts) ont pour composée :
a) une homothétie de rapport $1$   b) une translation   c) une homothétie de rapport $9$   d) l'identité

Exercice 2 — Situation d'intégration

Un géomètre doit agrandir le plan d'une parcelle pour un dossier de lotissement. Sur le plan original, un sommet $A$ du terrain a pour coordonnées $A(2;3)$ et un autre sommet $B(4;-1)$, dans un repère dont l'origine $\Omega(0;0)$ est le coin de référence du lotissement. Le règlement impose un agrandissement de rapport $k=2{,}5$ pour établir le plan final.

Consigne : Déterminer les coordonnées des points $A'$ et $B'$, images de $A$ et $B$ par cette homothétie de centre $\Omega$ et de rapport $2{,}5$. Calculer ensuite les distances $AB$ et $A'B'$, et vérifier que $A'B'=2{,}5\times AB$ (propriété de conservation des distances à un facteur $k$ près).

Problème — Soit $h_1$ l'homothétie de centre $A(1;2)$, rapport $k_1=2$, et $h_2$ l'homothétie de centre $B(4;0)$, rapport $k_2=\dfrac12$.

Partie A. 1) Justifier que $h_1\circ h_2$ est une homothétie-translation et calculer son rapport. 2) En déduire précisément la nature de $h_1\circ h_2$.

Partie B. Déterminer le vecteur de cette translation, en calculant l'image de $O(0;0)$ par $h_1\circ h_2$ (calculer d'abord $h_2(O)$, puis $h_1$ appliqué à ce résultat).

Partie C. Soit $M(x;y)$ un point quelconque du plan. 1) Donner l'expression analytique de $h_1\circ h_2$ sous la forme $(x';y')$ en fonction de $(x;y)$. 2) Vérifier la cohérence de cette expression avec le résultat de la Partie B en substituant $x=0$, $y=0$.

Le plan est muni d'un repère orthonormé \((O;\vec{i},\vec{j})\). On considère l'application \(f\) qui, à tout point \(M(x;y)\), associe le point \(M'(x';y')\) tel que \(x'=-2x+6\) et \(y'=-2y-3\).

1) Démontre que \(f\) admet un unique point invariant \(\Omega\), puis que \(f\) est une homothétie dont tu préciseras le centre et le rapport.

2) Détermine l'image \(A'\) du point \(A(3;1)\), puis une équation de l'image \(D'\) de la droite \(D\) d'équation \(2x-y+1=0\).

3) Détermine une équation de l'image du cercle \(\Gamma\) de centre \(I(1;1)\) et de rayon 2.

4) Démontre que \(f\) est bijective et donne l'expression analytique de sa réciproque \(f^{-1}\). Quelle est la nature de \(f^{-1}\) ?

5) Soit \(t\) la translation de vecteur \(\vec{u}(3;6)\) et \(g=t\circ f\). Donne l'expression analytique de \(g\) et démontre que \(g\) est une homothétie dont tu préciseras le centre et le rapport. Interprète.

Soit \(ABC\) un triangle non équilatéral, \(A'\), \(B'\), \(C'\) les milieux respectifs de \([BC]\), \([CA]\), \([AB]\). On note \(G\) son centre de gravité, \(O\) le centre de son cercle circonscrit et \(H\) son orthocentre. On note \(h\) l'homothétie de centre \(G\) et de rapport \(-\dfrac{1}{2}\).

1) Démontre que \(h(A)=A'\), \(h(B)=B'\) et \(h(C)=C'\).

2) Déduis-en l'image par \(h\) de la droite \((BC)\) et justifie que \((B'C')\) est parallèle à \((BC)\).

3) Démontre que l'image par \(h\) de la hauteur issue de \(A\) est la médiatrice de \([BC]\).

4) Déduis-en que \(h(H)=O\), puis que les points \(O\), \(G\), \(H\) sont alignés et que \(\overrightarrow{GH}=-2\,\overrightarrow{GO}\).

5) Application : dans un repère orthonormé, \(A(0;6)\), \(B(-2;0)\), \(C(4;0)\). Calcule les coordonnées de \(G\) et de \(O\), déduis-en celles de \(H\) à l'aide de la question 4, puis vérifie par un calcul de produit scalaire que \(H\) est bien sur deux hauteurs du triangle.

Pour un spectacle de théâtre d'ombres, une petite lampe \(S\) éclaire un mur vertical situé à 3 m d'elle. Un marionnettiste tient une marionnette plate en carton dans un plan parallèle au mur, à 0,5 m de la lampe. On raisonne dans un plan perpendiculaire au mur contenant \(S\) ; l'ombre d'un point \(M\) de la marionnette est le point \(M'\) du mur aligné avec \(S\) et \(M\).

1) Démontre, à l'aide du théorème de Thalès, que \(\overrightarrow{SM'}=6\,\overrightarrow{SM}\) pour tout point \(M\) de la marionnette. Quelle transformation envoie la marionnette sur son ombre ?

2) La marionnette mesure 20 cm de haut. Quelle est la hauteur de son ombre ? Justifie.

3) Le metteur en scène veut une ombre de 1,50 m de haut pour cette marionnette. À quelle distance de la lampe faut-il la tenir (toujours parallèlement au mur) ?

4) La marionnette étant à nouveau à 0,5 m de la lampe, le marionnettiste la déplace parallèlement au mur, par la translation de vecteur \(\vec{u}\) avec \(\|\vec{u}\|=10\) cm. Démontre que \(h\circ t_{\vec{u}}=t_{6\vec{u}}\circ h\), où \(h\) désigne la transformation de la question 1. De combien l'ombre se déplace-t-elle ?

5) Si la marionnette avance à la vitesse de 5 cm/s parallèlement au mur, à quelle vitesse son ombre se déplace-t-elle ? Interprète pour le spectateur.

Dans un repère orthonormé \((O;\vec{i},\vec{j})\), on considère le cercle \(C_1\) de centre \(I(0;0)\) et de rayon 2, et le cercle \(C_2\) de centre \(J(6;0)\) et de rayon 1.

1) Démontre qu'une homothétie de centre \(\Omega\) et de rapport \(k\) transforme \(C_1\) en \(C_2\) si et seulement si elle transforme \(I\) en \(J\) et \(|k|=\dfrac{1}{2}\).

2) Détermine les coordonnées du centre \(\Omega_1\) de l'homothétie de rapport \(\dfrac{1}{2}\), puis du centre \(\Omega_2\) de l'homothétie \(h\) de rapport \(-\dfrac{1}{2}\), qui transforment \(C_1\) en \(C_2\).

3) Donne l'expression analytique de \(h\).

4) Soit \(\Delta\) la droite d'équation \(x-\sqrt{3}\,y-4=0\). Vérifie que \(\Delta\) passe par \(\Omega_2\). Démontre que \(\Delta\) coupe \(C_1\) en un seul point \(T_1\), dont tu donneras les coordonnées. Déduis-en, à l'aide de \(h\), que \(\Delta\) est aussi tangente à \(C_2\) en un point \(T_2\) à préciser.

5) Calcule la longueur \(T_1T_2\) et vérifie ce résultat par un calcul de longueurs de tangentes issues de \(\Omega_2\).