Formules d'addition, duplication et linéarisation

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) En écrivant $105°=45°+60°$, la valeur exacte de $\cos(105°)$ est :
a) $\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}$   b) $\dfrac{\sqrt2-\sqrt6}{4}$   c) $\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$   d) $\dfrac{\sqrt2+\sqrt6}{4}$

2) Sachant $\sin a=\dfrac45$ avec $a\in\left[0;\dfrac\pi2\right]$, la valeur de $\cos(2a)$ est :
a) $\dfrac{7}{25}$   b) $-\dfrac{7}{25}$   c) $\dfrac{9}{25}$   d) $-\dfrac{9}{25}$

3) La forme linéarisée de $\cos^2x$ est :
a) $\dfrac{1+\cos(2x)}{2}$   b) $\dfrac{1-\cos(2x)}{2}$   c) $1+\cos(2x)$   d) $\dfrac{\cos(2x)}{2}$

4) Pour écrire $\cos x+\sqrt3\sin x$ sous la forme $R\cos(x-\varphi)$, la valeur de $R$ est :
a) $2$   b) $\sqrt3$   c) $4$   d) $1$

Exercice 2 — Situation d'intégration

Un ingénieur de la SONABEL étudie la tension instantanée d'une ligne électrique alimentant un quartier. Cette tension, en volts, est modélisée par $u(t)=100\cos(t)+100\sqrt3\sin(t)$, où $t$ est un temps exprimé en radians.

Pour dimensionner correctement les protections électriques du réseau, l'ingénieur a besoin de connaître la tension maximale atteinte par la ligne au cours du temps.

Consigne : Écrire $u(t)$ sous la forme $R\cos(t-\varphi)$ avec $R>0$ et $\varphi\in\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$, en déduire la tension maximale atteinte par la ligne, et donner la plus petite valeur positive de $t$ pour laquelle ce maximum est atteint.

Problème — On pose $f(x)=\cos^2x-\sin^2x+2\sin x\cos x$ pour $x\in\mathbb R$.

Partie A. 1) Montrer, à l'aide des formules de duplication, que $f(x)=\cos(2x)+\sin(2x)$. 2) Écrire $\cos(2x)+\sin(2x)$ sous la forme $R\cos(2x-\varphi)$ avec $R>0$ et $\varphi\in\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$. 3) En déduire les valeurs maximale et minimale de $f$ sur $\mathbb R$, ainsi qu'une valeur de $x$ pour laquelle le maximum est atteint.

Partie B. Résoudre dans $[0;2\pi[$ l'équation $f(x)=1$.

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=\sqrt{2}\cos x-\sqrt{6}\sin x\).

1) En remarquant que \(\frac{5\pi}{12}=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{6}\), calcule les valeurs exactes de \(\cos\frac{5\pi}{12}\) et de \(\sin\frac{5\pi}{12}\).

2) À l'aide d'une formule de duplication appliquée à \(a=\frac{5\pi}{12}\), calcule \(\cos^2\frac{5\pi}{12}\) d'une autre manière, puis vérifie la cohérence avec le résultat de la question 1.

3) Déduis-en la valeur exacte de \(\tan\frac{5\pi}{12}\), sous la forme \(a+b\sqrt{3}\) avec \(a\) et \(b\) entiers.

4) Démontre que pour tout réel \(x\), \(f(x)=2\sqrt{2}\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\).

5) Déduis-en le maximum et le minimum de \(f\) sur \(\mathbb{R}\), en donnant pour chacun un réel où il est atteint. Utilise ensuite la question 1 pour calculer la valeur exacte de \(f\left(\frac{\pi}{12}\right)\).

Un menuisier taille une poutre à section rectangulaire dans un tronc cylindrique de 40 cm de diamètre. La section de la poutre est un rectangle \(ABCD\) inscrit dans le disque de section du tronc : sa diagonale \([AC]\) est un diamètre, donc \(AC=40\) cm. On note \(\ell=AB\) la largeur, \(h=BC\) la hauteur et \(\theta\) la mesure en radian de l'angle \(\widehat{BAC}\), avec \(0\lt\theta\lt\frac{\pi}{2}\).

1) Justifie que \(\ell=40\cos\theta\) et \(h=40\sin\theta\).

2) Démontre que l'aire de la section est \(S(\theta)=800\sin 2\theta\). Déduis-en l'aire maximale et la forme de la section correspondante.

3) Démontre que le périmètre de la section est \(P(\theta)=80\sqrt{2}\sin\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)\), puis détermine le périmètre maximal (valeur exacte et arrondi au mm).

4) Exprime \(h^2-\ell^2\) en fonction de \(\cos 2\theta\). Le menuisier veut une poutre telle que \(h^2-\ell^2=800\) : détermine \(\theta\), puis les dimensions \(\ell\) et \(h\).

5) Calcule les valeurs exactes de \(\cos\frac{\pi}{12}\) et \(\sin\frac{\pi}{12}\) en utilisant \(\frac{\pi}{12}=\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}\). Déduis-en \(\ell\) et \(h\) pour \(\theta=\frac{\pi}{12}\), puis vérifie que le produit \(\ell h\) est bien égal à \(S\left(\frac{\pi}{12}\right)\).

Dans cet exercice, \(x\) désigne un réel quelconque.

1) À partir des formules de duplication, démontre que \(\cos^2x=\frac{1+\cos 2x}{2}\) et \(\sin^2x=\frac{1-\cos 2x}{2}\).

2) Déduis-en la linéarisation \(\cos^4x=\frac{3+4\cos 2x+\cos 4x}{8}\).

3) Établis de même que \(\sin^4x=\frac{3-4\cos 2x+\cos 4x}{8}\). Déduis-en que \(\cos^4x+\sin^4x=\frac{3+\cos 4x}{4}\) et que \(\cos^4x-\sin^4x=\cos 2x\), puis retrouve ce dernier résultat par une factorisation.

4) Calcule la somme \(S=\cos^4\frac{\pi}{8}+\cos^4\frac{3\pi}{8}+\cos^4\frac{5\pi}{8}+\cos^4\frac{7\pi}{8}\).

5) Donne les valeurs exactes de \(\cos^4\frac{\pi}{8}\) et de \(\sin^4\frac{\pi}{8}\), vérifie les deux relations de la question 3 pour \(x=\frac{\pi}{8}\), puis détermine le minimum et le maximum de \(g(x)=\cos^4x+\sin^4x\) sur \(\mathbb{R}\).

On pose \(c=\cos\frac{\pi}{5}\) et on considère le polynôme \(P(t)=4t^3+2t^2-3t-1\).

1) En écrivant \(3x=2x+x\), démontre que pour tout réel \(x\), \(\cos 3x=4\cos^3x-3\cos x\).

2) Justifie que \(\cos\frac{3\pi}{5}=-\cos\frac{2\pi}{5}\). Déduis-en, à l'aide de la question 1 et d'une formule de duplication, que \(c\) est une racine du polynôme \(P\).

3) Calcule \(P(-1)\) et déduis-en une factorisation de \(P(t)\) sous la forme \((t+1)(at^2+bt+d)\).

4) Résous l'équation \(P(t)=0\) et démontre que \(\cos\frac{\pi}{5}=\frac{1+\sqrt{5}}{4}\).

5) Déduis-en les valeurs exactes de \(\cos\frac{2\pi}{5}\) et de \(\sin\frac{\pi}{10}\), puis calcule \(\cos^2\frac{\pi}{5}\) de deux manières (directement et par linéarisation) pour vérifier tes résultats.