Équations trigonométriques et résolution de triangles

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) L'ensemble des solutions réelles de $\cos(x)=\cos\!\left(\dfrac\pi5\right)$ est :
a) $x=\dfrac\pi5+2k\pi$ uniquement, $k\in\mathbb Z$   b) $x=\dfrac\pi5+2k\pi$ ou $x=-\dfrac\pi5+2k\pi$, $k\in\mathbb Z$   c) $x=\dfrac\pi5+k\pi$, $k\in\mathbb Z$   d) $x=\dfrac{2\pi}5+2k\pi$, $k\in\mathbb Z$

2) Dans un triangle $ABC$ (notations usuelles $a=BC$, $b=AC$, $c=AB$), la loi des cosinus s'écrit :
a) $a^2=b^2+c^2-2bc\cos\widehat A$   b) $a^2=b^2+c^2+2bc\cos\widehat A$   c) $a^2=b^2-c^2-2bc\cos\widehat A$   d) $a=b+c-2bc\cos\widehat A$

3) Un triangle a pour côtés $b=6$, $c=8$ et un angle $\widehat A=90°$ entre eux. Par la loi des cosinus, le troisième côté $a$ vaut :
a) $10$   b) $14$   c) $2$   d) $100$

4) L'aire d'un triangle avec $b=4$, $c=6$ et $\widehat A=30°$ vaut :
a) $6$   b) $12$   c) $24$   d) $3$

Exercice 2 — Situation d'intégration

Un géomètre est chargé d'établir le titre foncier d'un terrain triangulaire $ABC$. À l'aide d'un théodolite, il mesure deux côtés depuis le sommet $A$ : $AB=45$ m et $AC=60$ m, ainsi que l'angle $\widehat{BAC}=50°$ entre ces deux côtés. Le troisième côté $BC$ longe une parcelle voisine déjà bornée et n'est pas directement mesurable sur le terrain.

Consigne : Calculer la longueur $BC$ (arrondie au mètre) à l'aide de la loi des cosinus, puis calculer l'aire du terrain (arrondie au mètre carré), nécessaire à l'établissement du titre foncier.

On donne $\cos50°\approx0{,}643$ et $\sin50°\approx0{,}766$.

Problème.

Partie A. Résoudre dans $[0;2\pi[$ l'équation $2\cos(x)-\sqrt3=0$.

Partie B. Un triangle $ABC$ vérifie $AB=c=10$, $AC=b=14$, et l'angle $\widehat{BAC}=A$ tel que $\cos A=\dfrac12$ (déduit d'une mesure de terrain, et cohérent avec l'une des solutions trouvées en Partie A ramenée en degrés). 1) Donner la valeur exacte de l'angle $\widehat A$ en degrés. 2) Calculer $BC=a$. 3) En déduire l'aire du triangle $ABC$ (on donnera la valeur exacte, puis une valeur approchée au dixième).

Problème — $ABCDEFGH$ est un pavé droit avec $AB=8$, $AD=6$, $AE=4$ (les faces sont donc des rectangles, pas des carrés). $I$, $J$, $K$ sont les milieux respectifs des arêtes $[BA]$, $[BC]$, $[BF]$, issues du sommet $B$.

Partie A. 1) Calculer $BI$, $BJ$ et $BK$. 2) En utilisant le théorème de Pythagore dans chacune des faces $ABCD$, $BCGF$ et $ABFE$, calculer $IJ$, $JK$ et $KI$.

Partie B. Le triangle $IJK$ est-il équilatéral, isocèle (non équilatéral), ou scalène (trois côtés de longueurs différentes) ? Justifier à l'aide des résultats de la Partie A.

On considère l'expression \(E(x)=\cos 2x+3\sin x-2\), définie pour tout réel \(x\).

1) À l'aide d'une formule de duplication, démontre que \(E(x)=-2\sin^2x+3\sin x-1\), puis que \(E(x)=-(2\sin x-1)(\sin x-1)\).

2) Résous dans \(\mathbb{R}\) les équations \(\sin x=\frac{1}{2}\) et \(\sin x=1\).

3) Déduis-en les solutions dans \(]-\pi;\pi]\) de l'équation \(E(x)=0\) et place les points images sur le cercle trigonométrique.

4) Justifie que \(\sin x-1\leq0\) pour tout réel \(x\), puis résous dans \(]-\pi;\pi]\) l'inéquation \(E(x)\geq0\).

5) En posant \(s=\sin x\) et en étudiant le trinôme \(-2s^2+3s-1\) pour \(s\in[-1;1]\), détermine le maximum et le minimum de \(E\) sur \(\mathbb{R}\). Précise un réel où le minimum est atteint.

Une antenne verticale \([HS]\), de pied \(H\) et de sommet \(S\), se trouve de l'autre côté d'un marigot : on ne peut pas atteindre son pied. Depuis un point \(A\) du sol horizontal, on voit le sommet \(S\) sous un angle d'élévation de \(30^\circ\). On avance de 40 m en ligne droite vers l'antenne jusqu'au point \(B\) (les points \(A\), \(B\), \(H\) sont alignés dans cet ordre) et on voit alors \(S\) sous un angle d'élévation de \(45^\circ\).

1) Détermine les mesures des trois angles du triangle \(ABS\).

2) En utilisant \(15^\circ=45^\circ-30^\circ\), calcule la valeur exacte de \(\sin 15^\circ\).

3) À l'aide de la loi des sinus dans le triangle \(ABS\), démontre que \(BS=20(\sqrt{6}+\sqrt{2})\).

4) Déduis-en la hauteur \(h=HS\) de l'antenne (valeur exacte puis arrondi au cm) et la distance \(BH\).

5) Calcule \(AS\) de deux manières : par la loi des sinus dans \(ABS\), puis dans le triangle rectangle \(AHS\). Interprète la concordance des résultats.

Soit \(ABC\) un triangle tel que \(AB=8\), \(AC=15\) et \(\widehat{BAC}=60^\circ\) (unité : le centimètre). On note \(a=BC\), \(b=AC\), \(c=AB\).

1) À l'aide du théorème d'Al-Kashi, calcule \(a\).

2) Calcule l'aire \(\mathcal{S}\) du triangle \(ABC\) (valeur exacte).

3) Calcule \(\cos\widehat{ABC}\) par Al-Kashi, puis \(\sin\widehat{ABC}\). Vérifie ce dernier résultat à l'aide de la loi des sinus.

4) Calcule le rayon \(R\) du cercle circonscrit au triangle \(ABC\).

5) Justifie que le triangle \(ABC\) a ses trois angles aigus, puis calcule la longueur de la hauteur issue de \(A\).

Soit \(ABC\) un triangle tel que \(AB=4\), \(AC=6\) et \(\widehat{BAC}=\theta\), avec \(\theta\in\,]0;\pi[\). On note \(S(\theta)\) son aire.

1) Démontre que \(S(\theta)=12\sin\theta\) et que \(BC^2=52-48\cos\theta\).

2) Résous dans \(]0;\pi[\) l'équation \(S(\theta)=6\). Pour chaque solution, calcule la valeur exacte de \(BC^2\).

3) Résous dans \(]0;\pi[\) l'inéquation \(S(\theta)\geq6\sqrt{3}\).

4) Résous dans \(]0;\pi[\) l'inéquation \(BC\leq2\sqrt{7}\).

5) Démontre qu'il existe une seule valeur de \(\theta\) pour laquelle \(S(\theta)\geq6\sqrt{3}\) et \(BC\leq2\sqrt{7}\). Pour ce triangle, calcule \(BC\), \(S\) et \(\cos\widehat{ABC}\).