Équations avec radicaux, inéquations et systèmes

Exercice 1 — QCM

1) L'équation $\sqrt{2x+3}=x$ admet dans $\mathbb{R}$ :
a) deux solutions   b) une seule solution   c) aucune solution   d) une infinité de solutions

2) Pour résoudre $\sqrt{x+1}=x-1$, la condition nécessaire à vérifier avant d'élever au carré est :
a) $x\geqslant -1$   b) $x-1\geqslant 0$   c) $x\leqslant 1$   d) $x\in\mathbb{R}$

3) Le système $\begin{cases}2x+y=7\\x-y=2\end{cases}$ a pour solution :
a) $(2;3)$   b) $(3;1)$   c) $(1;5)$   d) $(4;-1)$

4) Par la méthode du pivot de Gauss sur $\begin{cases}x+y+z=6\\2y-z=1\\z=2\end{cases}$, la valeur de $y$ est :
a) $1$   b) $1{,}5$   c) $2$   d) $3$

Exercice 2 — Situation d'intégration

Un éleveur de la province du Sanmatenga possède un troupeau de bovins et de caprins, soit $60$ têtes de bétail au total. Il fait vacciner chaque animal : $8\,000$ FCFA par bovin et $3\,000$ FCFA par caprin. La facture totale du vétérinaire s'élève à $290\,000$ FCFA.

L'éleveur veut connaître la composition exacte de son troupeau pour vérifier que la facture correspond bien à ce qu'il possède réellement, avant de payer.

Consigne : En notant $b$ le nombre de bovins et $c$ le nombre de caprins, mettre la situation en système de deux équations, le résoudre, puis dire à l'éleveur si la facture du vétérinaire est cohérente avec un troupeau de $60$ têtes.

Partie A. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\sqrt{3x+7}-\sqrt{x+2}=1$ (on isolera un des deux radicaux avant d'élever au carré, et on vérifiera soigneusement chaque solution trouvée).

Partie B. Résoudre par la méthode du pivot de Gauss le système : $\begin{cases}x+2y-z=2\\2x-y+3z=9\\3x+y+z=8\end{cases}$.

Partie C. Vérifier que le couple $(x_0;y_0)$ formé par la solution de la Partie A (la valeur de $x$) et la valeur de $y$ obtenue en Partie B satisfait l'inéquation $x_0+y_0\leqslant 6$.

On considère la fonction \(g\) définie par \(g(x)=\sqrt{3x+10}\) et la droite \((D)\) d'équation \(y=x+2\) dans un repère du plan.

1) Détermine l'ensemble de définition \(D_g\) de la fonction \(g\).

2) Résous dans \(\mathbb{R}\) l'équation \(\sqrt{3x+10}=x+2\). Justifie pourquoi l'une des solutions de l'équation obtenue après élévation au carré doit être rejetée.

3) Résous dans \(\mathbb{R}\) l'inéquation \(\sqrt{3x+10}\gt x+2\). Interprète le résultat en termes de position de la courbe de \(g\) par rapport à la droite \((D)\).

4) Déduis-en, sans nouveau calcul, l'ensemble des solutions de l'inéquation \(\sqrt{3x+10}\leq x+2\).

5) Résous enfin dans \(\mathbb{R}\) l'équation \(\sqrt{x+5}-\sqrt{x-3}=2\).

Une vendeuse du marché propose trois jus en bouteille : bissap au prix de \(x\) francs, gingembre au prix de \(y\) francs et tamarin au prix de \(z\) francs. Un premier client achète une bouteille de chaque jus et paie 750 F. Un restaurateur achète 4 bissap, 2 gingembre et 3 tamarin pour 2 200 F. Une école achète 2 bissap, 5 gingembre et 4 tamarin pour 2 850 F.

1) Traduis ces informations par un système \((S)\) de trois équations à trois inconnues.

2) À l'aide de la méthode du pivot de Gauss, transforme \((S)\) en un système triangulaire équivalent. Justifie que ce système admet une solution unique.

3) Détermine le prix de chaque jus et vérifie tes résultats dans les trois équations.

4) Un jour, la vendeuse a vendu 25 bouteilles pour une recette de 6 000 F, avec deux fois plus de bouteilles de bissap que de tamarin. Détermine le nombre de bouteilles de chaque jus vendues ce jour-là.

5) Son cahier indique par erreur 26 bouteilles au lieu de 25, les autres informations restant les mêmes. Montre que cette situation est impossible.

On considère les polynômes \(P(x)=x^3+x^2-5x+7\) et \(Q(x)=x^3-7x+6\), et l'équation \((E)\ :\ \sqrt{P(x)}=x+1\).

1) Démontre que, pour \(x\geq -1\), l'équation \((E)\) est équivalente à \(Q(x)=0\).

2) Calcule \(Q(1)\) puis factorise \(Q(x)\) en produit de trois polynômes du premier degré.

3) Résous dans \(\mathbb{R}\) l'équation \(Q(x)=0\).

4) Déduis-en les solutions de \((E)\). Explique pourquoi une racine de \(Q\) n'est pas solution de \((E)\).

5) Vérifie que \(P(x)=(x-1)^2(x+3)+4\), déduis-en que \(P(x)\gt 0\) pour tout \(x\geq -1\), puis résous l'inéquation \(\sqrt{P(x)}\leq x+1\).

Un forage \(F\) est situé à 3 km d'une route rectiligne ; on note \(H\) le point de la route le plus proche de \(F\), de sorte que \(FH=3\) km. Un village \(V\) est situé sur la route à 9 km de \(H\). On pose une canalisation en ligne droite de \(F\) jusqu'à un point \(M\) de la route situé entre \(H\) et \(V\), puis le long de la route de \(M\) jusqu'à \(V\). On note \(x=HM\) en km, avec \(0\leq x\leq 9\). Le kilomètre posé à travers champ coûte 2 millions de francs, le kilomètre posé le long de la route 1 million.

1) Montre que le coût total, en millions de francs, est \(C(x)=2\sqrt{x^2+9}+9-x\). Calcule \(C(0)\) et \(C(9)\).

2) Résous l'équation \(C(x)=15\) sur \([0;9]\).

3) Résous l'inéquation \(C(x)\leq 15\) sur \([0;9]\).

4) Un technicien affirme qu'on peut réaliser le chantier pour 14 millions. Démontre que \(C(x)\gt 14\) pour tout \(x\) de \([0;9]\) et conclus.

5) Le budget est de 15 millions. Interprète le résultat de la question 3 pour le choix du point \(M\), puis calcule \(C(2)\) arrondi au centième.