Première D · Leçon 7
Comportement global et limites d'une fonction
Exercices corrigés
QCM — Limites et asymptotes
Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)
1) $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{4x+3}{x-1}$ vaut :
a) $4$ b) $-3$ c) $0$ d) $+\infty$
2) Soit $g(x)=\dfrac5{x+2}$. La courbe de $g$ admet pour asymptote verticale la droite :
a) $x=2$ b) $x=-2$ c) $y=5$ d) $y=0$
3) $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(7-\dfrac3{x^2}\right)$ vaut :
a) $7$ b) $-3$ c) $4$ d) $+\infty$
4) Pour $x>0$, on a $|h(x)-2|\leqslant\dfrac4x$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac4x=0$. On en déduit :
a) $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}h(x)=2$ b) $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}h(x)=4$ c) $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}h(x)=0$ d) on ne peut rien conclure
Voir le corrigé
- Réponse : a. $4x+3=4(x-1)+7$, donc $f(x)=4+\dfrac7{x-1}\to4$ quand $x\to+\infty$.
- Réponse : b. $g$ n'est pas définie en $x=-2$ et $\displaystyle\lim_{x\to-2}g(x)=\pm\infty$ selon le côté : asymptote verticale $x=-2$.
- Réponse : a. $\dfrac3{x^2}\to0$ quand $x\to+\infty$, donc la limite vaut $7-0=7$.
- Réponse : a. C'est le théorème de comparaison : l'encadrement $|h(x)-2|\leqslant4/x$ avec $4/x\to0$ force $h(x)\to2$.
Situation d'intégration — Coût de production
Exercice 2 — Situation d'intégration
Une unité de transformation de karité a un coût moyen de production, en milliers de FCFA par kilogramme, modélisé par $C(x)=\dfrac{500+3x}{x+2}$, où $x$ est la quantité produite en tonnes, $x\in\;]0;+\infty[$.
Le gérant de l'unité envisage d'augmenter fortement la production et veut savoir si le coût moyen peut descendre indéfiniment, ou s'il existe un plancher que le coût ne pourra jamais franchir, même pour une très grande quantité produite.
Consigne : Réécrire $C(x)$ sous la forme $a+\dfrac{b}{x+2}$, déterminer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}C(x)$ et l'interpréter, puis étudier le signe de $C(x)-a$ pour dire si le coût moyen peut atteindre ou passer sous ce seuil pour une valeur finie de $x$.
Voir le corrigé
- Réécriture. $500+3x=3(x+2)+494$ (car $3(x+2)=3x+6$, et $500-6=494$), donc $C(x)=3+\dfrac{494}{x+2}$.
- Limite. Quand $x\to+\infty$, $\dfrac{494}{x+2}\to0$, donc $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}C(x)=3$ : la droite $y=3$ est asymptote horizontale. Le coût moyen se rapproche de $3$ milliers de FCFA/kg sans jamais réellement l'atteindre pour une production finie.
- Signe de $C(x)-3=\dfrac{494}{x+2}$. Pour $x>0$, on a $x+2>0$ donc $\dfrac{494}{x+2}>0$ : $C(x)>3$ pour toute valeur de $x$.
- Conclusion. Le coût moyen reste toujours strictement supérieur à $3$ milliers de FCFA/kg, quelle que soit la quantité produite : il existe bien un plancher que le gérant ne pourra jamais franchir, seulement en approcher indéfiniment en augmentant $x$.
Problème — Étude d'une fonction rationnelle et de ses asymptotes
Problème — Soit $f(x)=\dfrac{5x-1}{2x+4}$, définie sur $\mathbb{R}\setminus\{-2\}$.
Partie A. 1) Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que $f(x)=a+\dfrac{b}{2x+4}$. 2) En déduire $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)$, puis donner l'équation de l'asymptote horizontale. 3) Déterminer les limites de $f$ en $(-2)^-$ et $(-2)^+$, puis donner l'équation de l'asymptote verticale.
Partie B. 1) Étudier le signe de $f(x)-a$ selon les valeurs de $x$. 2) En déduire, selon les valeurs de $x$, si la courbe de $f$ est au-dessus ou en dessous de son asymptote horizontale.
Problème — Étude complète des limites et asymptotes d'une fonction homographiqueApprofondissement — Limites et asymptotes d'une fonction homographique
Soit $f(x)=\dfrac{2x+7}{x+1}$, définie sur $\mathbb R\setminus\{-1\}$.
Partie A. 1) Écrire $f(x)$ sous la forme $a+\dfrac{b}{x+1}$. 2) Déterminer les limites de $f$ en $+\infty$, en $-\infty$, en $(-1)^-$ et en $(-1)^+$. En déduire les équations de toutes les asymptotes de la courbe de $f$.
Partie B. 3) Calculer $f(x)-2$ et simplifier l'expression. En déduire une expression simplifiée de $g(x)=|f(x)-2|$ pour $x\neq-1$. 4) Résoudre l'inéquation $f(x)>2$.
Approfondissement — Limites et asymptotes d'une fonction homographique
Exercice 4 — Approfondissement
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ par $f(x)=\dfrac{x^2+1}{x-1}$.
1) Déterminer $\displaystyle\lim_{x\to1^-}f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to1^+}f(x)$. Qu'en déduit-on ?
2) Montrer que, pour tout $x\neq1$, $f(x)=x+1+\dfrac{2}{x-1}$.
3) En déduire $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}[f(x)-(x+1)]$ et interpréter graphiquement.
Fraction rationnelle, asymptote oblique et centre de symétrie
On considère la fonction \(f\) définie par \(f(x)=\frac{2x^2-3x-1}{x-2}\). On note \(\mathcal{C}\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
1) Détermine l'ensemble de définition \(D_f\) de \(f\), puis trouve trois réels \(a\), \(b\), \(c\) tels que pour tout \(x\) de \(D_f\), \(f(x)=ax+b+\frac{c}{x-2}\).
2) Explique pourquoi le calcul direct de la limite de \(f\) en \(+\infty\) conduit à une forme indéterminée, puis calcule les limites de \(f\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\).
3) Calcule les limites de \(f\) à gauche et à droite en 2. Interprète graphiquement.
4) Démontre que la droite \(\Delta\) d'équation \(y=2x+1\) est asymptote à \(\mathcal{C}\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\), puis étudie la position relative de \(\mathcal{C}\) et de \(\Delta\).
5) Démontre que pour tout \(x\) de \(D_f\), \(4-x\) appartient à \(D_f\) et \(f(4-x)+f(x)=10\). Interprète ce résultat à l'aide du point \(\Omega(2;5)\), intersection des deux asymptotes.
Le refroidissement d'un thé
On sert un thé chaud dans une pièce. On modélise sa température (en °C) au bout de \(t\) minutes par \(T(t)=\frac{25t+170}{t+2}\), pour \(t\geq0\).
1) Calcule la température du thé au moment où on le sert. Démontre que pour tout \(t\geq0\), \(T(t)=25+\frac{120}{t+2}\).
2) En décomposant \(T\) à l'aide des fonctions \(t\mapsto t+2\), \(u\mapsto\frac{1}{u}\), puis d'une multiplication par 120 et d'une addition de 25, démontre que \(T\) est strictement décroissante sur \([0;+\infty[\).
3) Calcule \(\lim\limits_{t\to+\infty}T(t)\). Interprète graphiquement et physiquement ce résultat, puis justifie que le thé reste toujours plus chaud que la pièce.
4) On estime que le thé est buvable dès que sa température est au plus 45 °C. Au bout de combien de temps est-il buvable ? Au bout de combien de temps sa température est-elle au plus 30 °C ?
5) Démontre que, pour \(t\gt0\), la vitesse moyenne de variation de la température entre les instants 0 et \(t\) vaut \(v(t)=\frac{T(t)-T(0)}{t}=-\frac{60}{t+2}\). Calcule les limites de \(v\) en \(0\) et en \(+\infty\) et interprète-les.
Une fonction avec radical et ses deux asymptotes
On considère la fonction \(g\) définie par \(g(x)=\sqrt{x^2+4x}-x\) et on note \(\Gamma\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
1) Détermine l'ensemble de définition \(D_g\) de \(g\).
2) Justifie que la limite de \(g\) en \(+\infty\) se présente sous une forme indéterminée, puis démontre que \(\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=2\). Interprète graphiquement.
3) Démontre que pour tout \(x\geq0\), \(g(x)-2=\frac{-4}{\sqrt{x^2+4x}+x+2}\). Déduis-en la position de \(\Gamma\) par rapport à la droite d'équation \(y=2\) sur \([0;+\infty[\).
4) Calcule la limite de \(g\) en \(-\infty\).
5) Démontre que pour tout \(x\leq-4\), \(g(x)-(-2x-2)=\frac{-4}{\sqrt{x^2+4x}-x-2}\). Déduis-en que la droite \(D\) d'équation \(y=-2x-2\) est asymptote à \(\Gamma\) en \(-\infty\) et précise leur position relative.
6) Résous dans \(D_g\) l'équation \(g(x)=1\).
Composée d'une homographique et de la racine carrée
Sur l'intervalle \(I=]1;+\infty[\), on considère les fonctions \(f(x)=\frac{x+3}{x-1}\) et \(h(x)=\sqrt{\frac{x+3}{x-1}}\), de sorte que \(h\) est la composée de \(f\) suivie de la fonction racine carrée.
1) Démontre que pour tout \(x\) de \(I\), \(f(x)=1+\frac{4}{x-1}\). Déduis-en que \(f\) est strictement décroissante sur \(I\) et que \(f(x)\gt1\) pour tout \(x\) de \(I\).
2) Justifie que \(h\) est bien définie sur \(I\) et démontre qu'elle est strictement décroissante sur \(I\).
3) Calcule les limites de \(h\) en \(1\) (à droite) et en \(+\infty\). Déduis-en les asymptotes à la courbe de \(h\) et la position de cette courbe par rapport à son asymptote horizontale.
4) Résous dans \(I\) l'inéquation \(h(x)\leq\sqrt{2}\).
5) Démontre que pour tout \(x\) de \(I\), \(h(x)-1=\frac{4}{(x-1)\left(h(x)+1\right)}\). Déduis-en \(\lim\limits_{x\to+\infty}x\left(h(x)-1\right)\) et interprète ce résultat pour les grandes valeurs de \(x\).