Combinaisons, relations et binôme de Newton

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) $\binom72$ vaut :
a) $21$   b) $14$   c) $42$   d) $5$

2) D'après la relation $\binom np=\binom n{n-p}$, on a $\binom{10}3=\binom{10}{k}$ avec $k=$ :
a) $3$   b) $7$   c) $10$   d) $13$

3) Dans le développement de $(x+1)^4$, le coefficient de $x^2$ vaut :
a) $4$   b) $6$   c) $8$   d) $12$

4) D'après la relation de Pascal, $\binom52+\binom53=\binom6{k}$ avec $k=$ :
a) $2$   b) $3$   c) $5$   d) $6$

Exercice 2 — Situation d'intégration

Une ONG intervenant dans la région du Sahel a formé $9$ volontaires. Elle doit sélectionner, parmi eux, une équipe de $4$ animateurs pour organiser une campagne de sensibilisation à l'hygiène dans les villages. Les $4$ postes de l'équipe sont identiques : aucune hiérarchie n'est établie entre les animateurs sélectionnés.

Pour son rapport de subvention, l'ONG doit vérifier que le nombre total d'équipes possibles reste strictement inférieur à un plafond de $150$ fixé par le bailleur de fonds (ce plafond garantissant que la procédure de sélection reste suffisamment restreinte et traçable).

Consigne : Calculer le nombre d'équipes de $4$ animateurs possibles parmi les $9$ volontaires, puis vérifier si ce nombre respecte le plafond fixé par le bailleur.

Problème.

Partie A. Développer $(x-1)^5$ à l'aide de la ligne $n=5$ du triangle de Pascal.

Partie B. Vérifier la relation $\binom62+\binom63=\binom73$.

Partie C. Une coopérative compte $12$ membres. Elle doit former un comité de $5$ membres, sans distinction de rôle entre eux. Combien de comités différents peut-elle former ?

Dans un village, douze personnes se portent volontaires pour gérer le nouveau forage : sept femmes et cinq hommes. On doit former un comité de quatre personnes ; dans un comité, tous les membres ont le même rôle.

1) Combien de comités différents peut-on former ? Justifie le choix du modèle (arrangement ou combinaison).

2) Combien de comités comptent exactement deux femmes ?

3) Combien de comités comptent au moins une femme ?

4) Combien de comités comptent au plus un homme ?

5) Parmi les cinq hommes, Moussa et Issa refusent de siéger ensemble. Combien de comités respectent cette contrainte ? Quelle proportion de tous les comités cela représente-t-il ?

On rappelle la formule du binôme : pour tous réels \(a\) et \(b\) et tout entier \(n\ge 1\), \((a+b)^n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}a^{n-k}b^{k}\).

1) Développe \((x+2)^5\) et ordonne le résultat suivant les puissances décroissantes de \(x\).

2) Sans développer entièrement, détermine le coefficient de \(x^3\) dans le développement de \((2x-3)^6\).

3) En choisissant des valeurs de \(a\) et \(b\) bien adaptées, calcule \(S=C_{6}^{0}+C_{6}^{1}+\dots+C_{6}^{6}\) et \(T=C_{6}^{0}-C_{6}^{1}+C_{6}^{2}-\dots+C_{6}^{6}\). Déduis-en la valeur de \(C_{6}^{0}+C_{6}^{2}+C_{6}^{4}+C_{6}^{6}\).

4) Démontre que, pour tout réel \(x\ge 0\) et tout entier \(n\ge 1\), on a \((1+x)^n\ge 1+nx\).

5) Un capital placé à intérêts composés au taux annuel de 2 % est multiplié par \(1{,}02\) chaque année. Calcule la valeur exacte de \(1{,}02^5\) à l'aide de la formule du binôme, puis compare-la avec la valeur donnée par l'inégalité de la question 4. Interprète.

Pour \(0\le p\le n\), on note \(C_{n}^{p}=\dfrac{n!}{p!\,(n-p)!}\) le nombre de combinaisons de \(p\) éléments parmi \(n\).

1) Calcule \(C_{8}^{3}\) et \(C_{8}^{5}\). Explique, sans calcul, pourquoi ces deux nombres sont égaux.

2) Résous dans \(\mathbb{N}\) l'équation \(C_{n}^{2}=45\).

3) Démontre par le calcul la relation de Pascal : pour \(1\le p\le n-1\), \(C_{n-1}^{p-1}+C_{n-1}^{p}=C_{n}^{p}\). Vérifie-la pour \(n=8\) et \(p=3\).

4) Démontre que, pour \(1\le p\le n\), \(pC_{n}^{p}=nC_{n-1}^{p-1}\). Déduis-en que \(\displaystyle\sum_{p=1}^{n}pC_{n}^{p}=n\,2^{n-1}\) et vérifie ce résultat pour \(n=4\).

5) La ligne 5 du triangle de Pascal est 1, 5, 10, 10, 5, 1. Construis la ligne 6 à l'aide de la relation de Pascal et calcule la somme de ses termes. Que retrouves-tu ?

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=(1+x)^5\).

1) Développe \(f(x)\) à l'aide de la formule du binôme.

2) Dérive le polynôme obtenu, puis démontre que \(f'(x)=5(1+x)^4\) en développant \((1+x)^4\).

3) Calcule \(f'(1)\) de deux façons et déduis-en la valeur de \(C_{5}^{1}+2C_{5}^{2}+3C_{5}^{3}+4C_{5}^{4}+5C_{5}^{5}\).

4) Étudie le sens de variation de \(f\) sur \(\mathbb{R}\). En quel point la courbe de \(f\) admet-elle une tangente horizontale ?

5) Détermine une équation de la tangente \(T\) à la courbe de \(f\) au point d'abscisse 0, puis étudie la position de la courbe par rapport à \(T\) pour \(x\ge 0\). Quelle inégalité retrouves-tu ?