Cardinal d'un ensemble fini

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) $A$ et $B$ sont deux ensembles finis avec $\text{card}(A)=20$, $\text{card}(B)=15$, $\text{card}(A\cap B)=5$. Alors $\text{card}(A\cup B)$ vaut :
a) $35$   b) $30$   c) $40$   d) $10$

2) Dans un ensemble $E$ de cardinal $40$, une partie $A$ vérifie $\text{card}(A)=28$. Le cardinal du complémentaire $\overline A$ vaut :
a) $68$   b) $12$   c) $-12$   d) $40$

3) $E$ et $F$ sont deux ensembles finis, $\text{card}(E)=6$, $\text{card}(F)=4$. Le cardinal de $E\times F$ vaut :
a) $10$   b) $2$   c) $24$   d) $6^4$

4) $E$ est un ensemble à $7$ éléments. Le nombre de parties de $E$ (l'ensemble $\mathcal P(E)$) vaut :
a) $128$   b) $14$   c) $49$   d) $64$

Exercice 2 — Situation d'intégration

Un lycée organise une kermesse de fin d'année. Sur les $200$ élèves de l'établissement, $120$ participent à l'atelier théâtre, $85$ à l'atelier musique, et $40$ participent aux deux ateliers à la fois.

Le comité d'organisation doit commander un tee-shirt pour chaque élève participant à au moins un atelier (sans doublon pour ceux qui font les deux), plus une réserve correspondant à $10\%$ des élèves ne participant à aucun atelier, qui seront mobilisés comme bénévoles le jour J.

Consigne : Déterminer le nombre d'élèves participant à au moins un atelier, le nombre d'élèves ne participant à aucun des deux, puis le nombre total de tee-shirts à commander (réserve bénévoles arrondie à l'entier supérieur).

Problème — Codes, digicode et parties d'un ensemble.

Partie A. Un cadenas de vélo utilise un code à $4$ chiffres choisis parmi $\{0,1,\dots,9\}$, les répétitions étant autorisées. 1) Combien de codes différents existe-t-il au total ? 2) Combien de ces codes ont leurs $4$ chiffres deux à deux distincts ?

Partie B. Le digicode d'un immeuble utilise un code de $3$ caractères, chacun choisi parmi les $10$ chiffres et les $26$ lettres de l'alphabet ($36$ symboles au total), répétitions autorisées. Combien de codes différents sont possibles ?

Partie C. Un technicien dispose d'un ensemble $E$ de $8$ clés USB numérotées. Il doit constituer un lot à prêter à un collègue (n'importe quel sous-ensemble de $E$, y compris ne rien prêter ou tout prêter). Combien de lots différents peut-il constituer ?

Dans un lycée, on interroge les 120 élèves d'un même niveau sur trois activités : le football (ensemble \(F\)), le théâtre (ensemble \(T\)) et la chorale (ensemble \(C\)). On obtient : \(\mathrm{card}(F)=60\), \(\mathrm{card}(T)=45\), \(\mathrm{card}(C)=38\), \(\mathrm{card}(F\cap T)=18\), \(\mathrm{card}(F\cap C)=15\), \(\mathrm{card}(T\cap C)=12\) et \(\mathrm{card}(F\cap T\cap C)=7\).

1) Justifie la formule \(\mathrm{card}(F\cup T)=\mathrm{card}(F)+\mathrm{card}(T)-\mathrm{card}(F\cap T)\) puis calcule \(\mathrm{card}(F\cup T)\).

2) Démontre que \((F\cup T)\cap C=(F\cap C)\cup(T\cap C)\) et calcule le cardinal de cet ensemble.

3) Déduis-en le nombre d'élèves qui pratiquent au moins une des trois activités.

4) Combien d'élèves ne pratiquent aucune de ces activités ?

5) Calcule le nombre d'élèves qui pratiquent exactement une activité, puis exactement deux activités. Vérifie la cohérence de tes résultats et interprète la proportion d'élèves pratiquant au moins deux activités.

On considère l'ensemble \(E=\{1;2;3;4;5;6\}\).

1) Explique pourquoi choisir une partie de \(E\) revient à choisir un 6-uplet d'éléments de \(\{0;1\}\). Déduis-en le nombre de parties de \(E\).

2) Combien de parties de \(E\) contiennent l'élément 1 ? Combien ne contiennent ni 1 ni 2 ? Déduis-en le nombre de parties contenant 1 ou 2, et vérifie ce résultat avec la formule du cardinal d'une réunion.

3) Détermine le cardinal de \(E\times E\). Combien de couples \((a;b)\) de \(E\times E\) vérifient \(a\lt b\) ? Justifie.

4) Combien de couples \((a;b)\) de \(E\times E\) ont une somme \(a+b\) paire ? Combien ont un produit \(ab\) pair ?

5) On lance trois dés à six faces numérotées de 1 à 6 et on note le résultat sous forme d'un triplet de \(E^3\). Combien de triplets contiennent au moins un 6 ? Interprète.

\(ABCDEFGH\) est un cube : \(ABCD\) est la face du bas et \(E\), \(F\), \(G\), \(H\) sont situés respectivement au-dessus de \(A\), \(B\), \(C\), \(D\). On note \(S\) l'ensemble de ses 8 sommets.

1) Calcule le cardinal de \(S\times S\), puis le nombre de couples \((M;N)\) de sommets tels que \(M\ne N\).

2) Déduis-en le nombre de segments \([MN]\) joignant deux sommets distincts du cube.

3) Parmi ces segments, dénombre les arêtes, les diagonales de faces et les grandes diagonales, et vérifie que tu retrouves le résultat de la question 2.

4) On note \(\mathcal{D}\) l'ensemble des segments contenus dans une face du cube. Détermine \(\mathrm{card}(\mathcal{D})\) et décris son complémentaire. Justifie que \([AG]\) n'est contenu dans aucune face.

5) Utilise un produit cartésien pour dénombrer les segments joignant un sommet de la face \(ABCD\) à un sommet de la face \(EFGH\), puis classe-les selon leur nature.

La cantine d'un lycée propose chaque jour 3 entrées (salade, soupe, avocat), 4 plats (riz gras, tô, attiéké au poisson, haricots) et 2 desserts (banane, yaourt). Un menu complet est un triplet (entrée ; plat ; dessert).

1) Justifie que l'ensemble des menus complets est un produit cartésien et calcule le nombre de menus possibles.

2) On note \(X\) l'ensemble des menus contenant la soupe. Calcule le nombre de menus sans soupe, puis \(\mathrm{card}(X)\).

3) On note \(Y\) l'ensemble des menus contenant le yaourt. Calcule \(\mathrm{card}(Y)\), \(\mathrm{card}(X\cap Y)\) puis \(\mathrm{card}(X\cup Y)\). Combien de menus ne contiennent ni soupe ni yaourt ? Vérifie par un calcul direct.

4) Moussa mange à la cantine les 5 jours de la semaine. Son choix de la semaine est un 5-uplet de menus. Combien de choix de semaine sont possibles ? Combien ne comportent jamais de soupe ?

5) Déduis-en le nombre de choix de semaine où Moussa prend au moins une fois la soupe, et interprète la proportion correspondante.