Bases orthonormées et angle de deux vecteurs

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Un couple $(\vec i,\vec j)$ est une base orthonormée directe si :
a) $\vec i$ et $\vec j$ sont unitaires seulement   b) $\vec i$ et $\vec j$ sont orthogonaux seulement   c) $\vec i,\vec j$ unitaires, orthogonaux, et $\vec j$ obtenu par rotation de $+90°$ de $\vec i$   d) $\vec i,\vec j$ unitaires et colinéaires

2) Dans une base orthonormée directe, on donne $\vec u(1;1)$ et $\vec v(-1;1)$. Le cosinus de $\theta=(\widehat{\vec u,\vec v})$ vaut :
a) $0$   b) $1$   c) $\dfrac12$   d) $-1$

3) Si $\vec u\cdot\vec v=0$ et $\det(\vec u,\vec v)>0$, alors $(\vec u,\vec v)$ forme :
a) deux vecteurs colinéaires de même sens   b) deux vecteurs colinéaires de sens contraire   c) une base orthonormée directe (à un facteur près)   d) une base orthonormée indirecte (à un facteur près)

4) Pour $\vec u(3;-4)$ (donc $\|\vec u\|=5$), le vecteur unitaire $\vec v$ tel que $(\vec u,\vec v)$ soit orthonormée directe est :
a) $\left(\dfrac45;\dfrac35\right)$   b) $\left(-\dfrac45;-\dfrac35\right)$   c) $\left(\dfrac35;\dfrac45\right)$   d) $\left(-\dfrac35;\dfrac45\right)$

Exercice 2 — Situation d'intégration

Un technicien installe un panneau solaire sur le toit d'un centre de santé. Sur le support métallique, deux tiges de fixation définissent, dans un repère orthonormé direct lié au support (unité : décimètre), les vecteurs directeurs $\vec u(5;0)$ et $\vec v(3;4)$.

Le cahier des charges du fournisseur impose que l'angle $\theta$ entre les deux tiges soit strictement supérieur à $30°$, afin d'assurer un écoulement correct de l'eau de pluie en saison des pluies et d'éviter toute stagnation susceptible d'endommager le panneau.

Consigne : Calculer $\cos\theta$ et $\sin\theta$ où $\theta=(\widehat{\vec u,\vec v})$, en déduire une valeur approchée de $\theta$ en degrés (arrondie à l'unité), puis dire si l'installation respecte la contrainte du cahier des charges.

Problème — Dans le plan muni d'un repère orthonormé direct, on donne $A(1;2)$, $B(6;5)$, $C(-2;7)$.

Partie A. 1) Calculer les coordonnées des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$. 2) Calculer $\vec{AB}\cdot\vec{AC}$ et $\det(\vec{AB},\vec{AC})$. 3) En déduire $\cos(\widehat{BAC})$ et $\sin(\widehat{BAC})$, puis la mesure de l'angle $\widehat{BAC}$ en degrés.

Partie B. 1) Le triangle $ABC$ est-il rectangle en $A$ ? Justifier à l'aide du produit scalaire. 2) Le couple $(\vec{AB},\vec{AC})$ forme-t-il une base directe ou indirecte du plan ? Justifier à partir du signe du déterminant.

Le plan est orienté et muni d'une base orthonormée directe \((\vec{i},\vec{j})\) d'origine \(O\). On pose \(\vec{u}=\frac{\sqrt{3}}{2}\vec{i}+\frac{1}{2}\vec{j}\) et \(\vec{v}=-\frac{1}{2}\vec{i}+\frac{\sqrt{3}}{2}\vec{j}\).

1) Démontre que \((\vec{u},\vec{v})\) est une base orthonormée, puis qu'elle est directe en calculant une mesure de l'angle orienté \((\vec{u},\vec{v})\).

2) Le point \(M\) a pour coordonnées \((2;2\sqrt{3})\) dans le repère \((O;\vec{u},\vec{v})\). Calcule ses coordonnées dans le repère \((O;\vec{i},\vec{j})\) et interprète le résultat à l'aide de la distance \(OM\) et de l'angle \((\vec{u},\overrightarrow{OM})\).

3) Le point \(N\) a pour coordonnées \((-2;2)\) dans le repère \((O;\vec{i},\vec{j})\). En résolvant un système, détermine ses coordonnées \((x';y')\) dans le repère \((O;\vec{u},\vec{v})\).

4) Détermine la mesure principale de \((\vec{u},\overrightarrow{ON})\). En utilisant la question 3, déduis-en les valeurs exactes de \(\cos\frac{7\pi}{12}\) et \(\sin\frac{7\pi}{12}\).

5) Détermine les mesures principales de \((\overrightarrow{OM},\overrightarrow{ON})\) et de \((\overrightarrow{OM},-\overrightarrow{ON})\). La base \((\overrightarrow{ON},\overrightarrow{OM})\) est-elle directe ? Justifie.

Un drone surveille un champ. Le plan est muni d'une base orthonormée directe \((\vec{i},\vec{j})\) d'origine \(O\), le vecteur \(\vec{i}\) indiquant l'est ; l'unité est l'hectomètre. Le cap d'un déplacement est la mesure principale de l'angle \((\vec{i},\vec{w})\), où \(\vec{w}\) est le vecteur déplacement. Le drone part de \(O\), parcourt 4 hm au cap \(\frac{\pi}{6}\) jusqu'en \(A\), puis 4 hm au cap \(\frac{5\pi}{6}\) jusqu'en \(B\), puis \(2\sqrt{2}\) hm au cap \(-\frac{3\pi}{4}\) jusqu'en \(C\).

1) Calcule les coordonnées des points \(A\), \(B\) et \(C\).

2) Détermine les mesures principales des angles \((\overrightarrow{OA},\overrightarrow{AB})\) et \((\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC})\). Interprète-les comme des changements de direction du drone (vers la gauche ou vers la droite, et de combien).

3) Détermine la mesure principale de \((\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})\) et démontre que le triangle \(OAB\) est équilatéral.

4) Le drone revient en ligne droite de \(C\) à \(O\). Calcule la distance à parcourir, le cap à suivre et la mesure principale de \((\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CO})\).

5) Arrivé en \(O\), il reprend le cap initial. Calcule la mesure principale de \((\overrightarrow{CO},\overrightarrow{OA})\), puis démontre que la somme des quatre changements de direction vaut \(2\pi\).

Le plan est muni d'une base orthonormée directe \((\vec{i},\vec{j})\) d'origine \(O\). Pour tout entier naturel \(n\), on définit le point \(M_n\) par \(OM_n=r_n\) et \((\vec{i},\overrightarrow{OM_n})=\frac{n\pi}{6}\), où \(r_0=1\) et \(r_{n+1}=2r_n\).

1) Exprime \(r_n\) en fonction de \(n\), puis calcule les coordonnées de \(M_0\), \(M_1\) et \(M_2\).

2) Détermine les mesures principales de \((\vec{i},\overrightarrow{OM_{17}})\) et de \((\vec{i},\overrightarrow{OM_{40}})\). Démontre que, pour tout \(n\), le point \(M_{n+12}\) appartient à la demi-droite \([OM_n)\).

3) Démontre que la base \((\overrightarrow{OM_n},\overrightarrow{OM_{n+1}})\) est directe et que le triangle \(OM_nM_{n+3}\) est rectangle en \(O\). Exprime son aire \(\mathcal{A}_n\) en fonction de \(n\).

4) Calcule \(\mathcal{A}_0+\mathcal{A}_1+\cdots+\mathcal{A}_5\).

5) Détermine tous les entiers \(n\) pour lesquels \((\overrightarrow{OM_0},\overrightarrow{OM_n})\) a pour mesure principale \(-\frac{\pi}{2}\), puis ceux pour lesquels \(M_n\) est sur la demi-droite d'origine \(O\) dirigée par \(-\vec{i}\).

Le plan est muni d'une base orthonormée directe \((\vec{i},\vec{j})\). On considère les vecteurs \(\vec{a}(\sqrt{3};1)\), \(\vec{b}(-1;\sqrt{3})\) et, pour tout réel \(m\), \(\vec{w}_m(m;1)\).

1) Calcule \(\|\vec{a}\|\) et \(\|\vec{b}\|\), puis les mesures principales de \((\vec{i},\vec{a})\), \((\vec{i},\vec{b})\) et \((\vec{a},\vec{b})\). Déduis-en que \(\left(\frac{1}{2}\vec{a},\frac{1}{2}\vec{b}\right)\) est une base orthonormée directe.

2) Détermine le réel \(m\) tel que \((\vec{i},\vec{w}_m)\) ait pour mesure \(\frac{\pi}{3}\). Tu résoudras une équation avec radical.

3) Détermine le réel \(m\) tel que \((\vec{a},\vec{w}_m)\) ait pour mesure \(\frac{\pi}{2}\). Existe-t-il un réel \(m\) tel que \((\vec{a},\vec{w}_m)\) ait pour mesure \(-\frac{\pi}{2}\) ? Justifie.

4) Démontre que la base \((\vec{a},\vec{w}_m)\) est directe si et seulement si \(m\lt\sqrt{3}\). Que se passe-t-il pour \(m=\sqrt{3}\) ?

5) Pour la valeur de \(m\) trouvée à la question 2, détermine les mesures principales de \((\vec{a},\vec{w}_m)\) et de \((-\vec{a},\vec{w}_m)\).