Arrangements et permutations

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) $5!$ vaut :
a) $20$   b) $120$   c) $25$   d) $100$

2) $A_6^2$ vaut :
a) $30$   b) $15$   c) $12$   d) $36$

3) Le nombre de façons de ranger $4$ personnes en file indienne vaut :
a) $24$   b) $16$   c) $12$   d) $4$

4) Pour tout entier $n\geqslant1$, $A_n^n$ est égal à :
a) $n$   b) $n!$   c) $n^n$   d) $1$

Exercice 2 — Situation d'intégration

Une coopérative agricole compte $10$ membres candidats à un bureau de $3$ postes bien distincts : président, trésorier et secrétaire.

La coopérative doit ensuite afficher, dans l'ordre du meilleur au moins bon, le classement des $5$ producteurs les plus performants (en tonnage de coton) parmi les $12$ producteurs de la coopérative, sans aucun ex-æquo possible.

Consigne : Déterminer le nombre de bureaux différents possibles, puis le nombre de classements différents possibles pour les $5$ meilleurs producteurs parmi les $12$.

Problème — $8$ candidats passent un examen oral et sont reçus un par un dans une salle.

Partie A. De combien de façons peut-on établir l'ordre de passage des $8$ candidats ?

Partie B. Parmi ces $8$ candidats, $3$ sont désignés pour représenter leur promotion lors d'une cérémonie officielle, où ils occuperont $3$ sièges numérotés distincts sur l'estrade (siège 1, siège 2, siège 3). Combien de façons y a-t-il de choisir puis de placer ces $3$ candidats sur les $3$ sièges ?

Partie C. Les $5$ candidats restants doivent également être reçus en entretien individuel, dans un ordre précis établi par le jury. Combien d'ordres de passage différents sont possibles pour ces $5$ candidats ?

Le coffre d'une coopérative de producteurs s'ouvre avec un code de quatre chiffres, tous différents, choisis parmi les dix chiffres de 0 à 9. L'ordre des chiffres compte : les codes 0274 et 2074 sont différents.

1) Combien de codes différents peut-on composer ? Justifie par un modèle d'arrangement.

2) Combien de ces codes commencent par un chiffre pair ?

3) Combien de codes contiennent le chiffre 7 ? Explique pourquoi il est plus simple de compter d'abord ceux qui ne le contiennent pas.

4) Le trésorier a choisi un code dont les chiffres sont rangés dans l'ordre strictement croissant, comme 1358. Démontre que 210 codes ont cette propriété.

5) Une personne mal intentionnée sait seulement que le code contient le chiffre 7. Elle met 6 secondes à essayer un code. Combien de temps lui faut-il, au maximum, pour ouvrir le coffre ? Interprète ce résultat.

Dans tout l'exercice, \(n\) et \(p\) désignent des entiers naturels et \(A_{n}^{p}=\dfrac{n!}{(n-p)!}\) désigne le nombre d'arrangements de \(p\) éléments parmi \(n\), pour \(0\le p\le n\).

1) Simplifie \(\dfrac{(n+1)!}{(n-1)!}\) pour \(n\ge 1\), puis résous dans \(\mathbb{N}\) l'équation \(\dfrac{(n+1)!}{(n-1)!}=72\).

2) Résous dans \(\mathbb{N}\) l'équation \(A_{n}^{2}=56\).

3) Résous dans \(\mathbb{N}\) l'équation \(A_{n}^{3}=20n\), où \(n\ge 3\).

4) Démontre que, pour \(1\le p\le n\), on a \(A_{n}^{p}=n\times A_{n-1}^{p-1}\). Vérifie cette relation pour \(n=7\) et \(p=3\).

5) Démontre que, pour \(1\le p\le n-1\), on a \(A_{n}^{p}=A_{n-1}^{p}+p\times A_{n-1}^{p-1}\). Vérifie-la pour \(n=7\) et \(p=3\), puis interprète cette égalité en distinguant les listes qui contiennent un élément fixé de celles qui ne le contiennent pas.

Awa range sur une étagère, les uns à côté des autres, ses sept livres, tous différents : trois livres de mathématiques, deux livres de physique et deux livres de français.

1) Combien de rangements différents sont possibles ?

2) Combien de rangements placent les trois livres de mathématiques côte à côte ?

3) Combien de rangements regroupent les livres par matière (les mathématiques ensemble, la physique ensemble, le français ensemble) ?

4) Combien de rangements séparent les deux livres de physique, c'est-à-dire ne les placent pas côte à côte ?

5) Combien de rangements ont un livre de mathématiques à chaque extrémité de l'étagère ?

6) Awa range ses livres au hasard. Justifie que les rangements de la question 4 représentent plus des deux tiers de tous les rangements.

Avec les chiffres 1, 2, 3, 4, 5, 6 et 7, on écrit des nombres de trois chiffres, tous les chiffres d'un même nombre étant différents. On note \(\Omega\) l'ensemble de ces nombres, \(E\) l'ensemble de ceux qui sont pairs et \(F\) l'ensemble de ceux qui sont supérieurs à 500.

1) Calcule le cardinal de \(\Omega\).

2) Calcule le cardinal de \(E\), puis celui de \(F\).

3) Calcule le cardinal de \(E\cap F\) en distinguant les cas selon le chiffre des centaines.

4) Déduis-en le cardinal de \(E\cup F\), puis le nombre d'éléments de \(\Omega\) qui ne sont ni pairs ni supérieurs à 500.

5) Retrouve ce dernier résultat par un dénombrement direct, et explique pourquoi les deux méthodes doivent donner le même nombre.