Applications, polynômes et fractions rationnelles

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Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Soit $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=x^2$. L'application $f$ est :
a) injective   b) surjective   c) bijective   d) ni injective ni surjective

2) Soit $g:[0;+\infty[\to[0;+\infty[$, $g(x)=x^2$. L'application $g$ est :
a) injective seulement   b) surjective seulement   c) bijective   d) ni injective ni surjective

3) Le polynôme $P(x)=x^3-3x^2+4$ admet $x=-1$ pour racine. Après division euclidienne par $(x+1)$, le quotient est :
a) $x^2-2x+2$   b) $x^2-4x+4$   c) $x^2-2x-4$   d) $x^2+2x-4$

4) Le trinôme $x^2-7x+10$ a pour racines $x_1$ et $x_2$. La valeur de $x_1+x_2$ est :
a) $-7$   b) $7$   c) $10$   d) $-10$

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Le polynôme $P(x)=x^3-6x^2+11x-6$ s'annule en $x=1$. Le quotient de la division euclidienne de $P(x)$ par $(x-1)$ est :
a) $x^2-5x+6$   b) $x^2-5x-6$   c) $x^2+5x+6$   d) $x^2-6x+11$

2) Le trinôme $x^2+2x-15$ a pour racines :
a) $3$ et $-5$   b) $-3$ et $5$   c) $5$ et $3$   d) $-3$ et $-5$

3) Pour $x\neq-4$ et $x\neq-2$, la fraction $\dfrac{x^2-16}{x^2-2x-8}$ se simplifie en :
a) $\dfrac{x+4}{x+2}$   b) $\dfrac{x-4}{x+2}$   c) $\dfrac{x+4}{x-2}$   d) $\dfrac{x-4}{x-2}$

4) Le trinôme $x^2-9x+20$ se factorise en :
a) $(x-4)(x-5)$   b) $(x-4)(x+5)$   c) $(x+4)(x-5)$   d) $(x-2)(x-10)$

Exercice 2 — Situation d'intégration

Un coopérative agricole de la région des Hauts-Bassins dispose d'une parcelle rectangulaire pour la culture du coton. Le périmètre de la parcelle est fixé à $200$ m par la clôture déjà achetée. On note $x$ la longueur (en mètres) d'un des côtés.

Le rendement de la parcelle, en tonnes, est modélisé par la fonction $R(x) = -\dfrac{1}{250}x^3+\dfrac{2}{5}x^2-20x$ pour $x\in]0;100[$, une fois la largeur exprimée en fonction de $x$ et le modèle agronomique de la coopérative appliqué.

Le président de la coopérative sait que $R(x)$ s'annule pour $x=50$ (largeur = longueur, parcelle carrée) et souhaite savoir s'il existe d'autres largeurs qui annuleraient le rendement modélisé, ce qui indiquerait une erreur dans le choix de $x$.

Consigne : Vérifier que $x=50$ est bien racine de l'équation $R(x)=0$, factoriser complètement le polynôme obtenu, puis dire pour quelles valeurs de $x$ dans $]0;100[$ le président doit éviter de choisir sa longueur.

Problème — Soit $P(x)=x^3-6x^2+11x-6$.

Partie A. 1) Vérifier que $1$ est racine de $P$. 2) Déterminer les réels $a,b,c$ tels que $P(x)=(x-1)(x^2+ax+b)$. 3) Résoudre l'équation $P(x)=0$ dans $\mathbb{R}$.

Partie B. On considère l'application $f:\mathbb{R}\setminus\{2\}\to\mathbb{R}$, $f(x)=\dfrac{P(x)}{x-2}$. 1) Simplifier l'expression de $f(x)$ (on effectuera la division euclidienne de $P(x)$ par $x-2$). 2) En déduire le signe de $f(x)$ suivant les valeurs de $x$, à l'aide des résultats de la Partie A. 3) L'application $g:[3;+\infty[\to\mathbb{R}$ définie par $g(x)=f(x)$ est-elle injective ? Justifier à l'aide du signe de $f'$.

Problème — Soit $Q(x)=x^3-3x^2-4x+12$.

Partie A. 1) Vérifier que $2$ est racine de $Q$. 2) Déterminer les réels $a,b$ tels que $Q(x)=(x-2)(x^2+ax+b)$. 3) Résoudre l'équation $Q(x)=0$ dans $\mathbb{R}$.

Partie B. On considère $f:\mathbb{R}\setminus\{-2\}\to\mathbb{R}$, $f(x)=\dfrac{Q(x)}{x+2}$. 1) Simplifier l'expression de $f(x)$ à l'aide de la Partie A. 2) Étudier le signe de $f(x)$ suivant les valeurs de $x$. 3) L'application $g:[3;+\infty[\to\mathbb{R}$ définie par $g(x)=f(x)$ est-elle injective ? Justifier à l'aide du signe de $f'$.

On considère le polynôme \(P(x)=2x^3-3x^2-11x+6\) et la fraction rationnelle \(F(x)=\dfrac{P(x)}{x^2-9}\).

1) Calcule \(P(3)\). Que peux-tu en déduire pour le polynôme \(P\) ? Justifie.

2) Effectue la division euclidienne de \(P(x)\) par \(x-3\).

3) Déduis-en la factorisation de \(P(x)\) en produit de trois polynômes du premier degré.

4) Résous dans \(\mathbb{R}\) l'inéquation \(P(x)\geq 0\).

5) Détermine l'ensemble de définition de \(F\), simplifie \(F(x)\) puis résous l'équation \(F(x)=0\). Explique pourquoi 3 n'est pas solution de cette équation alors que \(P(3)=0\).

Soit \(a\) et \(b\) deux réels et \(P(x)=x^3+ax^2+bx-6\). On veut que \(P(x)\) soit divisible à la fois par \(x-1\) et par \(x+2\).

1) Démontre que cette condition se traduit par le système \(a+b=5\) et \(2a-b=7\).

2) Résous ce système et écris \(P(x)\).

3) Effectue la division euclidienne de \(P(x)\) par \(x^2+x-2\) et déduis-en la factorisation complète de \(P(x)\).

4) Effectue la division euclidienne de \(P(x)\) par \(x^2+1\).

5) Déduis du résultat de la question 4 les solutions de l'équation \(P(x)=-10\). Interprète graphiquement.

On note \(E=\mathbb{R}\setminus\{-1\}\), \(F=\mathbb{R}\setminus\{2\}\) et on considère \(f(x)=\dfrac{2x+1}{x+1}\) pour \(x\in E\).

1) Démontre que, pour tout \(x\in E\), \(f(x)=2-\dfrac{1}{x+1}\). Déduis-en que \(f\) est une application de \(E\) dans \(F\).

2) Démontre que \(f\) est injective.

3) Démontre que \(f\) est surjective de \(E\) sur \(F\). Conclus et donne l'expression de la bijection réciproque \(f^{-1}\).

4) Calcule \(f^{-1}(3)\) et \(f^{-1}(0)\), puis vérifie tes résultats avec \(f\).

5) On considère maintenant \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(g(x)=x^2-2x\). Démontre que \(g\) n'est ni injective ni surjective, puis que la restriction de \(g\) à \([1;+\infty[\) est une bijection de \([1;+\infty[\) sur \([-1;+\infty[\) dont tu donneras la réciproque.

Un artisan découpe une feuille de carton rectangulaire de 16 cm sur 10 cm. Dans chaque coin, il retire un carré de côté \(x\) (en cm), puis il relève les bords pour obtenir une boîte sans couvercle. On note \(V(x)\) le volume de la boîte, en cm³.

1) Justifie que \(x\) appartient à \(]0;5[\) et démontre que \(V(x)=4x^3-52x^2+160x\).

2) On pose \(P(x)=V(x)-144\). Vérifie que 2 est une racine de \(P\) et effectue la division euclidienne de \(P(x)\) par \(x-2\).

3) Démontre que \(P(x)=4(x-2)^2(x-9)\).

4) Étudie le signe de \(P(x)\) sur \(]0;5[\). Déduis-en le volume maximal de la boîte et la valeur de \(x\) correspondante. Interprète.

5) On considère l'application \(V\) de \(]0;5[\) dans \(\mathbb{R}\). Calcule \(V(1)\), puis démontre qu'il existe un autre réel \(x\) de \(]0;5[\) tel que \(V(x)=V(1)\). L'application \(V\) est-elle injective ? Est-elle surjective ?