Application de la dérivation à l'étude des fonctions

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Si $f'(x)>0$ sur un intervalle $I$, alors $f$ est sur $I$ :
a) constante   b) croissante   c) décroissante   d) non dérivable

2) Si $f$ est dérivable et admet un extremum local en $a$, intérieur à $I$, alors :
a) $f(a)=0$   b) $f'(a)=0$   c) $f''(a)=0$   d) $f(a)=a$

3) Pour appliquer le théorème de la bijection monotone à $f$ sur $[a;b]$, il faut que $f$ soit :
a) continue seulement   b) dérivable et $f'$ de signe constant sur $[a;b]$   c) positive sur $[a;b]$   d) paire

4) La courbe de $|f|$ s'obtient à partir de celle de $f$ en :
a) la translatant vers le haut   b) repliant vers le haut, par symétrie d'axe $(Ox)$, les portions où $f$ est négative   c) l'inversant totalement   d) rien ne change

Exercice 2 — Situation d'intégration

Une exploitante de manguiers de la Boucle du Mouhoun vend sa récolte sur le marché local. Son bénéfice, en milliers de FCFA, est modélisé par $B(x)=-x^2+18x-45$, où $x$ est le nombre de tonnes vendues, $x\in[0;16]$.

Elle souhaite déterminer la quantité à vendre pour obtenir le bénéfice le plus élevé possible, sans gaspiller de récolte en vendant au-delà de cette quantité optimale.

Consigne : Calculer $B'(x)$, étudier son signe sur $[0;16]$, en déduire les variations de $B$ sur cet intervalle, puis déterminer la quantité optimale à vendre et le bénéfice maximal correspondant.

Problème — Soit $f(x)=-x^2+4x-1$, définie sur $\mathbb{R}$.

Partie A. 1) Calculer $f'(x)$ et étudier son signe. 2) En déduire les variations de $f$ sur $\mathbb{R}$ et la valeur de son maximum.

Partie B. 1) Justifier que $f$ réalise une bijection de $[2;5]$ sur un intervalle à préciser. 2) En déduire que l'équation $f(x)=-4$ admet une unique solution dans $[2;5]$, puis la déterminer.

Partie C. Déterminer les racines de $f$, puis donner l'expression de $f^+(x)$ (partie positive de $f$) selon les valeurs de $x$.

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=-x^3+3x^2+9x-4\).

1) Calcule \(f'(x)\), factorise-la et étudie son signe.

2) Détermine les limites de \(f\) en \(-\infty\) et en \(+\infty\), puis dresse le tableau de variations de \(f\).

3) Précise les extremums locaux de \(f\) et les valeurs de \(x\) où ils sont atteints. Justifie qu'il s'agit bien d'extremums.

4) Démontre que l'équation \(f(x)=0\) admet une unique solution \(\alpha\) dans l'intervalle \([-1;3]\), puis que \(0\lt \alpha\lt 0{,}5\).

5) Suivant les valeurs du réel \(m\), détermine le nombre de solutions de l'équation \(f(x)=m\). Combien de solutions l'équation \(f(x)=0\) a-t-elle sur \(\mathbb{R}\) ?

Un atelier de teinture artisanale produit chaque semaine \(x\) pagnes, avec \(5\leq x\leq 50\). Le coût total de production, en centaines de francs, est \(C(x)=x^2+20x+400\). Chaque pagne est vendu 70 centaines de francs, soit 7 000 francs.

1) Exprime le coût moyen de fabrication d'un pagne \(C_M(x)=\dfrac{C(x)}{x}\) sous la forme \(x+a+\dfrac{b}{x}\).

2) Calcule \(C_M'(x)\) et démontre que \(C_M'(x)=\dfrac{(x-20)(x+20)}{x^2}\). Dresse le tableau de variations de \(C_M\) sur \([5;50]\) et interprète son minimum.

3) On note \(B(x)\) le bénéfice hebdomadaire. Exprime \(B(x)\), étudie ses variations sur \([5;50]\) et détermine la production qui rend le bénéfice maximal, ainsi que ce bénéfice en francs.

4) Démontre que \(B(x)=x\,(70-C_M(x))\). Déduis-en, en résolvant une inéquation, les productions pour lesquelles l'atelier ne perd pas d'argent.

5) Le bénéfice maximal n'est pas obtenu pour la production qui minimise le coût moyen. Explique pourquoi à l'aide des résultats précédents.

On considère les fonctions \(f\) et \(g\) définies sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x^3+3x-5\) et \(g(x)=\dfrac{x^4}{4}+\dfrac{3x^2}{2}-5x+1\).

1) Étudie les variations de \(f\) et ses limites. Démontre que \(f\) réalise une bijection de \(\mathbb{R}\) sur \(\mathbb{R}\).

2) Déduis-en que l'équation \(f(x)=0\) admet une unique solution \(\alpha\), et démontre que \(1{,}15\lt \alpha\lt 1{,}2\).

3) Donne le signe de \(f(x)\) suivant les valeurs de \(x\).

4) Vérifie que \(g'(x)=f(x)\). Déduis-en les variations de \(g\) et démontre que \(g\) admet un minimum en \(\alpha\).

5) En utilisant l'égalité \(\alpha^3=5-3\alpha\), démontre que \(g(\alpha)=\dfrac{3}{4}\alpha^2-\dfrac{15}{4}\alpha+1\). Déduis-en un encadrement de \(g(\alpha)\) d'amplitude 0,1.

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x^3-3x^2\), de courbe \(C_f\) dans un repère orthonormé \((O;\vec{i},\vec{j})\).

1) Étudie les variations de \(f\) (dérivée, limites, tableau de variations).

2) On pose \(g(x)=f(x+1)+2\). Démontre que \(g(x)=x^3-3x\) et que \(g\) est impaire. Précise la transformation qui envoie \(C_f\) sur la courbe de \(g\), puis démontre que le point \(\Omega(1;-2)\) est un centre de symétrie de \(C_f\).

3) On pose \(h(x)=|f(x)|\). Étudie le signe de \(f(x)\) et écris \(h(x)\) sans valeur absolue. Explique comment obtenir la courbe de \(h\) à partir de \(C_f\).

4) Étudie la dérivabilité de \(h\) en 0 et en 3. Interprète graphiquement les résultats.

5) Détermine, en justifiant, le nombre de solutions de l'équation \(|f(x)|=2\).