Première L · Leçon 6
Variations et plan d’étude d’une fonction
Exercices corrigés
QCM — Application de la dérivation
Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)
1) Soit $f$ dérivable sur $\mathbb R$ avec $f'(x)=0$ pour tout $x$. On peut affirmer que $f$ est :
a) croissante b) décroissante c) constante d) on ne peut rien dire
2) Soit $g$ dérivable sur $I$ avec $g'(x)>0$ pour tout $x$ de $I$. $g$ est alors :
a) constante sur $I$ b) croissante sur $I$ c) décroissante sur $I$ d) non dérivable
3) Soit $s(x)=x^2-6x+5$. La valeur de $x$ qui annule $s'(x)$ est :
a) 3 b) 5 c) 6 d) $-3$
4) Pour tracer la courbe de $|f|$ à partir de celle de $f$, là où $f(x)<0$, on :
a) supprime la portion de courbe b) la laisse identique c) la replie par symétrie par rapport à $(Ox)$ d) la translate vers le haut
Voir le corrigé
- Réponse : c. Si $f'$ est nulle sur $\mathbb R$, alors $f$ est constante sur $\mathbb R$ (résultat admis).
- Réponse : b. Si $g'$ est positive sur $I$, alors $g$ est croissante sur $I$ (résultat admis).
- Réponse : a. $s'(x)=2x-6$, qui s'annule pour $x=3$.
- Réponse : c. Là où $f(x)<0$, $|f(x)|=-f(x)$ : la courbe est repliée vers le haut, par symétrie par rapport à l'axe $(Ox)$.
Situation d’intégration — Production de jus de mangue
Exercice 2 — Situation d'intégration
Une entreprise produit du jus de mangue en bouteilles. Le coût total journalier, en milliers de FCFA, pour $x$ centaines de bouteilles produites ($x\in[0;10]$), est modélisé par $K(x)=x^2-8x+20$. Le gérant souhaite déterminer la production qui minimise ce coût, afin de fixer un objectif journalier réaliste.
Consigne : Étudier le signe de $K'(x)$, dresser le sens de variation de $K$, puis en déduire la production optimale (en nombre de bouteilles) et le coût minimal correspondant.
Voir le corrigé
- Dérivée. $K'(x)=2x-8$, qui s'annule en $x=4$.
- Signe et variations. $K'(x)<0$ pour $x<4$ (décroissante sur $[0;4]$) et $K'(x)>0$ pour $x>4$ (croissante sur $[4;10]$) : $K$ admet un minimum en $x=4$.
- Coût minimal. $K(4)=16-32+20=4$.
- Conclusion. $x=4$ centaines de bouteilles, soit une production optimale de $400$ bouteilles par jour, pour un coût minimal de $4$ milliers de FCFA, soit $4\,000$ FCFA.
Problème — Étude complète et fonctions associées
Problème. Soit $f(x)=x^2-2x-3$.
Partie A.
1) Étudier le signe de $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$.
2) Résoudre l'équation $f(x)=0$.
3) En déduire le signe de $f(x)$ sur $\mathbb R$.
Partie B.
4) Décrire la courbe de $|f|$ à partir de celle de $f$ : sur quels intervalles coïncide-t-elle avec $f$, sur lequel est-elle repliée, et quelle est la valeur du maximum local obtenu par ce repli ?
5) On pose $g(x)=f(x+2)$. Donner l'expression développée de $g(x)$ et calculer $g(0)$.