Première L · Leçon 9
Deux fonctions réciproques : x² et √x
Ce que dit le programme officiel (1 points)
- Restrictions à [0 ; +∞[ ; courbes symétriques par rapport à la droite y = x
Source : Programme de mathématiques, séries L (Sénégal), octobre 2006
Fonctions réciproques et symétrie des courbes
Quand une fonction associe à chaque nombre de départ un unique nombre d’arrivée, on peut parfois remonter le chemin : à partir de l’image, retrouver l’antécédent. C’est précisément le rôle de la fonction réciproque. Cette notion est très utile pour résoudre des équations du type \(f(x)=y\), et elle possède une traduction graphique remarquable : la courbe de la réciproque s’obtient par symétrie par rapport à la droite d’équation \(y=x\) dans un repère orthonormé.
Soient \(E\) et \(F\) deux ensembles. Une application \(f\) de \(E\) vers \(F\), notée \(f : E \to F\), associe à tout élément \(x\) de \(E\) un unique élément de \(F\), noté \(f(x)\). L’ensemble \(E\) est l’ensemble de départ et \(F\) l’ensemble d’arrivée.
L’application \(f\) est injective si deux éléments différents de \(E\) ont toujours des images différentes. Cela s’écrit : si \(f(x_1)=f(x_2)\), alors \(x_1=x_2\). Autrement dit, un même élément de \(F\) n’a jamais deux antécédents distincts.
L’application \(f\) est surjective si tout élément de \(F\) possède au moins un antécédent dans \(E\). Cela signifie que l’ensemble d’arrivée est entièrement atteint par l’application.
L’application \(f\) est bijective si elle est à la fois injective et surjective. Dans ce cas, chaque élément de \(F\) possède un unique antécédent dans \(E\).
Si \(f : E \to F\) est bijective, on définit sa fonction réciproque ou application réciproque, notée \(f^{-1} : F \to E\), par la règle suivante : pour tout \(y\) de \(F\), \(f^{-1}(y)\) est l’unique élément \(x\) de \(E\) tel que \(f(x)=y\). Le symbole \(f^{-1}\) ne désigne donc pas ici l’inverse multiplicatif, mais la fonction qui « défait » l’action de \(f\).
Dire que \(f^{-1}(y)=x\), c’est exactement dire que \(f(x)=y\). Les rôles de la variable de départ et de l’image sont échangés.
Si \(f : E \to F\) est bijective, alors sa réciproque \(f^{-1} : F \to E\) existe et elle est elle-même bijective. De plus, pour tout \(x\in E\) et pour tout \(y\in F\), on a les deux relations essentielles :
\[f^{-1}(f(x))=x \quad \text{et} \quad f(f^{-1}(y))=y.\]
La première égalité signifie que si tu pars d’un élément \(x\), puis que tu appliques \(f\), puis la réciproque \(f^{-1}\), tu retrouves exactement \(x\). La seconde signifie qu’en partant d’un élément \(y\) de l’ensemble d’arrivée, puis en appliquant la réciproque, puis la fonction initiale, on retrouve \(y\).
Ces deux égalités justifient l’idée que \(f\) et \(f^{-1}\) s’annulent l’une l’autre pour l’enchaînement des calculs. Elles montrent aussi que les ensembles de définition et d’arrivée sont échangés : si \(f : E \to F\), alors \(f^{-1} : F \to E\).
Une conséquence importante est la suivante : pour qu’une fonction admette une réciproque sur un ensemble donné, il faut qu’elle soit bijective sur cet ensemble. Par exemple, la fonction \(x\mapsto x^2\) n’est pas bijective sur \(\mathbb{R}\), car \(1\) et \(-1\) ont la même image. En revanche, si on la considère sur \([0,+\infty[\), elle devient bijective de \([0,+\infty[\) vers \([0,+\infty[\), et sa réciproque est la fonction racine carrée \(x\mapsto \sqrt{x}\).
Supposons que \(f\) soit une bijection d’un ensemble \(E\) vers un ensemble \(F\), et que sa représentation graphique soit tracée dans un repère orthonormé. Alors la courbe représentative de \(f^{-1}\) est l’image de la courbe représentative de \(f\) par la symétrie d’axe la droite d’équation \(y=x\).
L’idée est simple. Si un point \(M(a,b)\) appartient à la courbe de \(f\), cela signifie que \(b=f(a)\). Comme \(f^{-1}(b)=a\), le point \(N(b,a)\) appartient à la courbe de \(f^{-1}\). Or les points \((a,b)\) et \((b,a)\) sont symétriques par rapport à la droite \(y=x\). On obtient donc toute la courbe de \(f^{-1}\) en échangeant l’abscisse et l’ordonnée de chaque point de la courbe de \(f\).
Cette propriété permet de contrôler graphiquement un résultat algébrique. Si tu trouves une expression pour \(f^{-1}\), tu peux vérifier qu’elle est cohérente en observant si sa courbe semble bien symétrique de celle de \(f\) par rapport à \(y=x\).
Attention : cette symétrie n’a de sens que pour une fonction qui admet réellement une réciproque sur l’ensemble étudié. Si la fonction n’est pas bijective, la « courbe symétrique » obtenue en échangeant les coordonnées peut ne pas représenter une fonction.
Pour déterminer la réciproque d’une fonction bijective, tu peux suivre les étapes suivantes :
- Vérifie d’abord que la fonction est bijective sur l’ensemble considéré. En pratique, il faut s’assurer que chaque image correspond à un unique antécédent et que toutes les valeurs de l’ensemble d’arrivée sont atteintes.
- Écris \(y=f(x)\). Cette égalité traduit la relation entre le nombre de départ \(x\) et son image \(y\).
- Résous cette égalité pour exprimer \(x\) en fonction de \(y\). Il faut isoler \(x\) avec des transformations algébriques correctes.
- Remplace ensuite la lettre \(y\) par \(x\). L’expression obtenue est celle de \(f^{-1}(x)\). Ce changement de lettre est normal : la variable d’une fonction est une lettre muette.
- Vérifie ton résultat à l’aide des compositions : calcule \(f(f^{-1}(x))\) et \(f^{-1}(f(x))\) sur les ensembles adaptés. Tu dois retrouver \(x\).
Pour exploiter la représentation graphique : 1) repère quelques points de la courbe de \(f\) ; 2) échange leurs coordonnées ; 3) place les nouveaux points ; 4) la courbe obtenue est celle de \(f^{-1}\), symétrique de la première par rapport à \(y=x\).
Énoncé : Soit \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) définie par \(f(x)=2x-3\). Montrer que \(f\) est bijective, puis déterminer \(f^{-1}\). Vérifier le résultat par composition.
Solution : La fonction \(f(x)=2x-3\) est une fonction affine de coefficient directeur \(2\), non nul. Quand \(x\) varie, les images varient sans répétition : la fonction est injective. De plus, pour tout réel \(y\), on peut chercher un réel \(x\) tel que \(2x-3=y\), donc la fonction atteint toute valeur réelle : elle est surjective. Elle est donc bijective.
Pour déterminer la réciproque, on pose \(y=2x-3\). On résout cette égalité en \(x\) :
\[y=2x-3\]
\[y+3=2x\]
\[x=\frac{y+3}{2}.\]
On remplace ensuite \(y\) par \(x\). On obtient :
\[f^{-1}(x)=\frac{x+3}{2}.\]
Vérification par composition :
\[f\bigl(f^{-1}(x)\bigr)=2\times \frac{x+3}{2}-3=x+3-3=x.\]
Et aussi :
\[f^{-1}(f(x))=\frac{(2x-3)+3}{2}=\frac{2x}{2}=x.\]
Le résultat est donc correct. Graphiquement, la droite de \(f^{-1}\) est la symétrique de la droite de \(f\) par rapport à \(y=x\). Par exemple, comme le point \((1,-1)\) appartient à la courbe de \(f\) car \(f(1)=2\times1-3=-1\), le point \((-1,1)\) appartient à la courbe de \(f^{-1}\).
Réservé aux abonnés Premium et Élève-Classe.
Voir les offresUne erreur très fréquente consiste à croire que toute fonction possède une réciproque. C’est faux. Pour qu’une réciproque existe comme fonction, il faut que la fonction de départ soit bijective sur l’ensemble étudié. Par exemple, la fonction \(f(x)=x^2\) sur \(\mathbb{R}\) n’est pas injective, car \(f(2)=4\) et \(f(-2)=4\). Le nombre \(4\) a donc deux antécédents. On ne peut pas définir une fonction réciproque sur tout \(\mathbb{R}\), car il faudrait décider si l’image réciproque de \(4\) vaut \(2\) ou \(-2\).
Un autre piège est d’écrire sans précaution \(\sqrt{x^2}=x\) pour tout réel \(x\). En réalité, on a
\[\sqrt{x^2}=|x|.\]
Contre-exemple : si \(x=-3\), alors \(\sqrt{x^2}=\sqrt{9}=3\), qui n’est pas égal à \(-3\). Cette confusion conduit à de fausses vérifications de réciproque.
Enfin, il ne faut pas confondre \(f^{-1}(x)\) et \(\dfrac{1}{f(x)}\). Par exemple, si \(f(x)=2x-3\), alors \(f^{-1}(x)=\dfrac{x+3}{2}\), tandis que \(\dfrac{1}{f(x)}=\dfrac{1}{2x-3}\). Ce sont deux expressions totalement différentes.
Quand tu connais quelques points simples de la courbe d’une bijection, pense immédiatement à permuter les coordonnées. Si \((a,b)\) est sur la courbe de \(f\), alors \((b,a)\) est sur celle de \(f^{-1}\). C’est souvent le moyen le plus rapide pour tracer l’allure de la courbe réciproque sans refaire toute l’étude.
Tu peux aussi garder en mémoire ce réflexe algébrique : « image puis réciproque, ou réciproque puis image, redonne le nombre de départ ». Autrement dit, dès que tu trouves une expression de \(f^{-1}\), vérifie systématiquement les deux compositions. Cette habitude évite la plupart des erreurs de signe, de domaine ou de résolution.