Première L · Leçon 1
Systèmes d’équations et d’inéquations
Ce que dit le programme officiel (3 points)
- Systèmes d’équations linéaires à 3 ou 4 inconnues : méthode du pivot de Gauss
- Systèmes d’inéquations linéaires à 2 inconnues ; méthodes graphiques
- Problèmes d’optimisation simples résolus graphiquement
Source : Programme de mathématiques, séries L (Sénégal), octobre 2006
Systèmes linéaires à trois inconnues : pivot de Gauss
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Rappel de SecondeUne inéquation \(ax+by \le e\) (avec \(b>0\)) partage le plan en deux demi-plans, séparés par la droite \(ax+by=e\) : les points qui vérifient l'inéquation forment l'un des deux demi-plans (frontière incluse).
Résoudre un système d'inéquations, c'est trouver l'intersection de tous les demi-plans correspondants — une région du plan.
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Rappel de SecondeUn atelier dispose d'un nombre limité d'heures de travail ; un éleveur doit couvrir des besoins alimentaires au moindre coût. Dans les deux cas, on cherche la meilleure décision possible parmi toutes celles que les contraintes autorisent. Lorsque les contraintes et la quantité à optimiser sont du premier degré, le problème se résout par un simple dessin : c'est la programmation linéaire.
Un problème de programmation linéaire à deux inconnues \(x\) et \(y\) comporte :
- des contraintes : un système d'inéquations du premier degré à deux inconnues (souvent, en plus, \(x\geq 0\) et \(y\geq 0\)) ;
- une fonction à optimiser \(z=ax+by\), qu'on veut rendre la plus grande possible (un bénéfice) ou la plus petite possible (un coût).
L'ensemble des points \(M(x\,;y)\) qui vérifient toutes les contraintes est le domaine des contraintes. Chaque inéquation définit un demi-plan limité par une droite ; le domaine est l'intersection de ces demi-plans : c'est une région du plan limitée par des segments de droites, dont les extrémités sont les sommets du domaine.
Pour une valeur donnée de \(z\), les points tels que \(ax+by=z\) forment une droite. Quand \(z\) varie, ces droites, dites droites de niveau, restent parallèles entre elles : elles ont toutes le même vecteur normal \((a\,;b)\).
Propriété (admise). Lorsque la fonction \(z=ax+by\) admet un maximum ou un minimum sur le domaine des contraintes, celui-ci est atteint en un sommet du domaine (ou en tous les points d'un côté, si ce côté est parallèle aux droites de niveau).
Explication graphique. On fait glisser une droite de niveau parallèlement à elle-même. Dans un sens, la valeur de \(z\) augmente ; dans l'autre, elle diminue. La dernière position où la droite touche encore le domaine donne la meilleure valeur : la droite ne touche alors le domaine qu'en un sommet (ou le long d'un côté).
En pratique, il suffit donc de calculer \(z\) en chacun des sommets et de comparer.
1. Choisir les inconnues \(x\) et \(y\), en précisant leur unité et ce qu'elles comptent.
2. Traduire l'énoncé : une inéquation par contrainte, puis l'expression de \(z\).
3. Représenter le domaine. Pour chaque inéquation, on trace la droite frontière, puis on choisit le bon demi-plan en testant un point simple, par exemple l'origine. On hachure ce qui ne convient pas : le domaine est la partie restée blanche.
4. Calculer les sommets. Chacun est l'intersection de deux droites frontières : on résout un système de deux équations à deux inconnues, et l'on vérifie que le point trouvé respecte les autres contraintes.
5. Comparer les valeurs de \(z\) aux sommets, et conclure par une phrase qui répond à la question posée, avec les unités. Si \(x\) et \(y\) doivent être entiers, on s'assure que la solution l'est.
Énoncé. Un atelier fabrique des tables et des bancs. Une table demande 1 heure de menuiserie et 2 heures de finition ; un banc demande 1 heure de menuiserie et 1 heure de finition. Chaque jour, l'atelier dispose de 8 heures de menuiserie et de 14 heures de finition. Le bénéfice est de 3 000 F par table et de 2 000 F par banc. Combien de tables et de bancs faut-il fabriquer par jour pour que le bénéfice soit maximal ?
Solution : Soit \(x\) le nombre de tables et \(y\) le nombre de bancs fabriqués par jour. Les contraintes sont \(x\geq 0\), \(y\geq 0\), \(x+y\leq 8\) (menuiserie) et \(2x+y\leq 14\) (finition). Le bénéfice, en milliers de francs, est \(z=3x+2y\).
Le domaine est le quadrilatère de sommets \(O(0\,;0)\), \(A(7\,;0)\), \(B(6\,;2)\) et \(C(0\,;8)\). Le sommet \(B\) est l'intersection des droites \(x+y=8\) et \(2x+y=14\) : par soustraction \(x=6\), puis \(y=2\). Le point \(A\) vérifie \(2x+y=14\) avec \(y=0\), et \(7+0\leq 8\).
Valeurs de \(z\) : en \(O\), 0 ; en \(A\), \(3\times 7=21\) ; en \(B\), \(18+4=22\) ; en \(C\), \(2\times 8=16\). Le maximum est 22, atteint en \(B\) : l'atelier doit fabriquer 6 tables et 2 bancs par jour, pour un bénéfice de 22 000 F. Toutes les heures disponibles sont alors utilisées.
Figure — Le domaine des contraintes de l'exemple 1 et deux droites de niveau
En bleu clair, le domaine des contraintes : le quadrilatère OABC, limité par les deux axes et par les droites d'équations x + y = 8 et 2x + y = 14. En pointillés or, deux droites de niveau du bénéfice : 3x + 2y = 12, qui traverse le domaine, et 3x + 2y = 22, qui ne le touche plus qu'au sommet B(6 ; 2).
Énoncé. Un éleveur compose chaque jour une ration avec deux aliments. Un kilogramme de l'aliment P apporte 2 unités de protéines et 1 unité de vitamines ; un kilogramme de l'aliment Q apporte 1 unité de protéines et 2 unités de vitamines. La ration doit apporter au moins 8 unités de protéines et au moins 10 unités de vitamines. L'aliment P coûte 400 F le kilogramme, l'aliment Q 300 F. Quelle ration coûte le moins cher ?
Solution : Soit \(x\) et \(y\) les masses, en kilogrammes, des aliments P et Q. Les contraintes sont \(x\geq 0\), \(y\geq 0\), \(2x+y\geq 8\) (protéines) et \(x+2y\geq 10\) (vitamines). Le coût, en centaines de francs, est \(z=4x+3y\).
L'origine ne vérifie aucune des deux dernières inéquations : le domaine est la région située au-dessus des deux droites, dans le quart de plan des coordonnées positives. Il n'est pas borné, mais il a trois sommets : \(D(0\,;8)\), \(E(2\,;4)\) et \(F(10\,;0)\). Le point \(E\) est l'intersection des deux droites : de \(y=8-2x\), on tire \(x+16-4x=10\), d'où \(x=2\) et \(y=4\).
Valeurs de \(z\) : en \(D\), 24 ; en \(E\), \(8+12=20\) ; en \(F\), 40. Comme le coût augmente lorsqu'on s'éloigne de l'origine, il n'y a pas de maximum, mais le minimum est 20, atteint en \(E\) : la ration la moins chère comporte 2 kg de l'aliment P et 4 kg de l'aliment Q, et coûte 2 000 F.
Oublier que les quantités sont positives. Sans \(x\geq 0\) et \(y\geq 0\), le domaine s'étend à des points qui n'ont aucun sens (un nombre négatif de tables).
Choisir le mauvais demi-plan. On teste toujours un point : dans l'exemple 1, l'origine vérifie \(0+0\leq 8\), elle est donc du bon côté de la droite \(x+y=8\) ; dans l'exemple 2, elle ne vérifie pas \(2x+y\geq 8\), elle est du mauvais côté.
Croire que la solution est toujours à l'intersection des deux droites de contraintes. Dans l'exemple 1, si le bénéfice était \(z=4x+y\), on trouverait 28 en \(A(7\,;0)\) et seulement 26 en \(B(6\,;2)\) : le maximum serait en \(A\). Il faut comparer tous les sommets.
Prendre pour sommet un point hors du domaine. Le point \((8\,;0)\) est sur la droite \(x+y=8\), mais il ne vérifie pas \(2x+y\leq 14\) : ce n'est pas un sommet du domaine de l'exemple 1.
Résumé
Des contraintes (inéquations du premier degré) et une fonction \(z=ax+by\) à optimiser.
Intersection de demi-plans ; on teste un point pour choisir chaque demi-plan.
Les droites \(ax+by=z\) sont parallèles ; on les fait glisser.
L'optimum est atteint en un sommet : on calcule \(z\) en chaque sommet et l'on compare.
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