Première L · Leçon 2
Polynômes
Ce que dit le programme officiel (3 points)
- Monômes, binômes, trinômes, polynômes de degré au plus 4 ; trinôme du second degré
- Factorisation par la division euclidienne ou par identification des coefficients
- Résolution d’équations et d’inéquations de degré au plus 4 à l’aide d’un tableau de signes
Source : Programme de mathématiques, séries L (Sénégal), octobre 2006
Polynômes : degré, racine et factorisation par (x − a)
Un polynôme s'écrit sous forme réduite \(P(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0\) avec \(a_n\ne0\) : \(n\) est le degré de \(P\). Le polynôme nul est celui dont tous les coefficients sont nuls ; on admet que si un polynôme est nul, tous ses coefficients le sont.
Si \(P(a)=0\), alors \(P(x)=(x-a)Q(x)\) pour un polynôme \(Q\) de degré \(n-1\).
Pour \(ax^2+bx+c=0\) (\(a\ne0\)) de racines \(x_1,x_2\) (éventuellement égales) :
\[ x_1+x_2 = -\dfrac{b}{a}, \qquad x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}. \]Utile pour retrouver rapidement des racines évidentes, ou pour construire un trinôme à partir de deux racines données.
Diviser \(P(x)=2x^3-3x^2+4x-1\) par \(D(x)=x-1\).
On dispose la division comme pour les entiers : \(2x^3\div x = 2x^2\), on multiplie et soustrait, on répète.
\[ \begin{aligned} 2x^3-3x^2+4x-1 &= (x-1)(2x^2) + (-x^2+4x-1) \\ &= (x-1)(2x^2-x) + (3x-1) \\ &= (x-1)(2x^2-x+3) + 2 \end{aligned} \]Quotient \(2x^2-x+3\), reste \(2\) (constant, degré \(<1\)).
Racine évidente. \(P(x)=x^3-6x^2+11x-6\) : \(P(1)=1-6+11-6=0\). On divise par \((x-1)\) : \(P(x)=(x-1)(x^2-5x+6)=(x-1)(x-2)(x-3)\).
Fraction rationnelle. Simplifier \(\dfrac{x^2-4}{x^2-x-2}\). On factorise : numérateur \((x-2)(x+2)\), dénominateur \((x-2)(x+1)\) (car somme des racines \(1\), produit \(-2\) : racines \(2\) et \(-1\)). Pour \(x\ne2\) : \(\dfrac{x^2-4}{x^2-x-2}=\dfrac{x+2}{x+1}\).
Équation du second degré : discriminant et racines
Rappel de SecondePour \(P(x)=ax^2+bx+c\) (\(a\ne0\)) :
\[ P(x)=a(x-\alpha)^2+\beta, \qquad \alpha=-\dfrac{b}{2a},\quad \beta=P(\alpha). \]Pour résoudre \(ax^2+bx+c=0\), on pose \(\Delta=b^2-4ac\).
\(\Delta>0\) : deux solutions \(x_{1,2}=\dfrac{-b\mp\sqrt\Delta}{2a}\). \(\Delta=0\) : une solution double \(x_0=-\dfrac{b}{2a}\). \(\Delta<0\) : aucune solution réelle.
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Rappel de SecondeSi \(\Delta>0\) (racines \(x_1<x_2\)) : \(P(x)\) est du signe de \(a\) à l'extérieur de \([x_1;x_2]\), du signe opposé entre les racines. Règle mnémotechnique : « signe de \(a\), sauf entre les racines ».
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Voir les offresFigure interactive — Parabole \(y=ax^2+bx+c\)
Résumé
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Voir les offresInjective : au plus 1 antécédent. Surjective : au moins 1. Bijective : exactement 1 → réciproque \(f^{-1}\) existe.
\(x_1+x_2=-b/a\), \(x_1x_2=c/a\) pour \(ax^2+bx+c=0\).
\(P=DQ+R\) avec \(\deg R < \deg D\). Base de toute factorisation avec une racine connue.
Toujours factoriser numérateur et dénominateur avant de simplifier — jamais de simplification terme à terme.
Sujet type devoir
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Voir les offresOn considère \(P(x)=x^3-2x^2-5x+6\).
Question 1. Vérifier que \(1\) est une racine de \(P\), puis effectuer la division euclidienne de \(P(x)\) par \((x-1)\).
\(P(1)=1-2-5+6=0\). Division : \(P(x)=(x-1)(x^2-x-6)\).
Question 2. Calculer la somme et le produit des racines de \(x^2-x-6\), puis factoriser complètement \(P(x)\).
Somme \(=1\), produit \(=-6\) : les racines sont \(3\) et \(-2\) (\(3+(-2)=1\), \(3\times(-2)=-6\)). Donc \(P(x)=(x-1)(x-3)(x+2)\).
Question 3. Soit \(f(x)=2x+5\) sur \(\mathbb R\). Montrer que \(f\) est bijective et déterminer \(f^{-1}\).
\(f\) est affine de coefficient directeur \(2\ne0\) : sa courbe est une droite non horizontale, donc \(f\) est bijective de \(\mathbb R\) sur \(\mathbb R\). En posant \(y=2x+5\) : \(x=\dfrac{y-5}{2}\), donc \(f^{-1}(y)=\dfrac{y-5}{2}\).