Première L · Leçon 11
Séries à deux variables
Ce que dit le programme officiel (1 points)
- Nuage de points ; ajustement à main levée ; ajustement par la méthode de Mayer
Source : Programme de mathématiques, séries L (Sénégal), octobre 2006
Série double : nuage de points et point moyen
La taille et la masse d'un enfant, le prix d'un produit et la quantité vendue, le mois et le chiffre d'affaires : dans bien des situations, on relève deux grandeurs sur les mêmes individus et l'on se demande si l'une dépend de l'autre. La première étape est toujours la même : représenter les données et repérer leur « centre ».
Une série statistique à deux variables (ou série double) associe à chacun des \(n\) individus d'une population un couple de nombres \((x_i\,;y_i)\), valeurs de deux caractères \(x\) et \(y\).
Nuage de points. Dans un repère, on place les \(n\) points \(M_i(x_i\,;y_i)\). Leur ensemble est le nuage de points de la série. Sa forme renseigne sur le lien entre les deux caractères : points à peu près alignés, courbe, ou points dispersés sans forme.
Point moyen. C'est le point \(G\) dont les coordonnées sont les moyennes des deux caractères :
\[G(\bar x\,;\bar y),\qquad \bar x=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n},\qquad \bar y=\frac{y_1+y_2+\cdots+y_n}{n}.\]Le point moyen est le barycentre des points du nuage affectés du même coefficient : c'est le « centre de gravité » du nuage.
Tracer le nuage. On choisit pour chaque axe une échelle adaptée à l'étendue des valeurs (les deux échelles peuvent être différentes, et l'origine peut ne pas être en 0), puis on place un point par individu, sans relier les points.
Calculer le point moyen. On calcule séparément la moyenne des \(x_i\) et celle des \(y_i\), puis on place \(G\) sur le graphique, avec une marque différente.
Partager le nuage. Si l'on sépare le nuage en deux groupes, chaque groupe a son propre point moyen ; le point moyen de l'ensemble est le barycentre de ces deux points, affectés des effectifs des groupes.
Énoncé. On considère la série suivante. Représenter le nuage de points et calculer les coordonnées du point moyen.
| \(x_i\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(y_i\) | 2 | 4 | 5 | 4 | 5 |
Solution : On place les points \((1\,;2)\), \((2\,;4)\), \((3\,;5)\), \((4\,;4)\) et \((5\,;5)\). \(\bar x=\dfrac{1+2+3+4+5}{5}=3\) et \(\bar y=\dfrac{2+4+5+4+5}{5}=4\). Le point moyen est \(G(3\,;4)\).
Le nuage a une forme allongée et « monte » de la gauche vers la droite : quand \(x\) augmente, \(y\) a tendance à augmenter.
Figure — Le nuage de l'exemple 1 et son point moyen
Les cinq points de la série sont marqués en bleu marine. Le point moyen G(3 ; 4), en or, se trouve au cœur du nuage ; les deux droites en pointillés qui s'y croisent ont pour équations x = 3 et y = 4.
Énoncé. Un commerçant a noté ses ventes (en centaines d'articles) pendant six mois. Calculer le point moyen \(G\) du nuage, puis les points moyens \(G_1\) des trois premiers mois et \(G_2\) des trois derniers. Que constate-t-on ?
| Mois \(x_i\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Ventes \(y_i\) | 3 | 5 | 7 | 9 | 10 | 14 |
Solution : \(\bar x=\dfrac{21}{6}=3{,}5\) et \(\bar y=\dfrac{48}{6}=8\) : \(G(3{,}5\,;8)\). Pour les trois premiers mois : \(G_1\left(\dfrac{1+2+3}{3}\,;\dfrac{3+5+7}{3}\right)\), soit \(G_1(2\,;5)\). Pour les trois derniers : \(G_2\left(\dfrac{4+5+6}{3}\,;\dfrac{9+10+14}{3}\right)\), soit \(G_2(5\,;11)\).
Le point \(G\) est le milieu de \([G_1G_2]\) : \(\dfrac{2+5}{2}=3{,}5\) et \(\dfrac{5+11}{2}=8\). C'est normal : les deux groupes ont le même effectif.
Relier les points. Un nuage de points n'est pas une courbe : on ne joint pas les points entre eux.
Échanger les deux caractères. L'abscisse est toujours la valeur du caractère \(x\), l'ordonnée celle de \(y\) ; le point \((2\,;4)\) n'est pas le point \((4\,;2)\).
Croire que le point moyen appartient au nuage. En général, \(G\) n'est aucun des points de la série : dans l'exemple 1, aucun individu n'a pour valeurs 3 et 4.
Ajustement affine par la méthode de Mayer
Lorsque les points d'un nuage sont à peu près alignés, on résume le nuage par une droite : c'est un ajustement affine. La droite permet de lire une tendance et de faire des prévisions. On peut la tracer « à l'œil », mais deux personnes ne traceront pas la même : la méthode de Mayer donne une règle simple, la même pour tous.
Ajuster un nuage par une droite, c'est choisir une droite qui passe « au plus près » des points. À main levée, on trace à la règle une droite qui laisse à peu près autant de points de chaque côté ; on la fait passer par le point moyen \(G\).
Méthode de Mayer. On range les points par abscisses croissantes et on partage le nuage en deux groupes de même effectif (à une unité près si \(n\) est impair). On calcule le point moyen \(G_1\) du premier groupe et le point moyen \(G_2\) du second. La droite de Mayer est la droite \((G_1G_2)\).
Propriété. La droite de Mayer passe par le point moyen \(G\) du nuage entier, car \(G\) est le barycentre de \(G_1\) et \(G_2\) affectés des effectifs des deux groupes.
1. Ranger les points par abscisses croissantes et former les deux groupes. 2. Calculer les coordonnées de \(G_1\) et de \(G_2\). 3. Calculer le coefficient directeur \(a=\dfrac{y_{G_2}-y_{G_1}}{x_{G_2}-x_{G_1}}\), puis l'ordonnée à l'origine \(b=y_{G_1}-a\,x_{G_1}\). 4. Contrôler que \(G\) vérifie l'équation \(y=ax+b\).
Prévoir. Pour estimer \(y\) connaissant \(x\), on remplace \(x\) dans l'équation. Si \(x\) est entre deux valeurs observées, c'est une interpolation ; s'il est au-delà, c'est une extrapolation, d'autant moins sûre qu'on s'éloigne des données.
Énoncé. Déterminer une équation de la droite de Mayer de la série suivante (ventes en centaines d'articles), puis estimer les ventes du huitième mois.
| Mois \(x_i\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Ventes \(y_i\) | 3 | 5 | 7 | 9 | 10 | 14 |
Solution : Premier groupe (mois 1 à 3) : \(G_1(2\,;5)\). Second groupe (mois 4 à 6) : \(G_2(5\,;11)\). Le coefficient directeur est \(a=\dfrac{11-5}{5-2}=2\) et \(b=5-2\times 2=1\). La droite de Mayer a pour équation \(y=2x+1\).
Contrôle : le point moyen \(G(3{,}5\,;8)\) vérifie \(2\times 3{,}5+1=8\). Pour le huitième mois, \(y=2\times 8+1=17\) : on peut prévoir environ 1 700 articles, si la tendance se maintient. C'est une extrapolation.
Figure — La droite de Mayer de l'exemple 1
Les six points de la série sont en bleu marine. Les points moyens des deux groupes, G1(2 ; 5) et G2(5 ; 11), sont en or : la droite de Mayer, d'équation y = 2x + 1, passe par ces deux points et par le point moyen G(3,5 ; 8) du nuage entier, marqué en bleu.
Énoncé. Déterminer la droite de Mayer de la série suivante en prenant les trois premiers points, puis les deux derniers.
| \(x_i\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(y_i\) | 2 | 4 | 5 | 4 | 5 |
Solution : Premier groupe : \(G_1\left(\dfrac{1+2+3}{3}\,;\dfrac{2+4+5}{3}\right)\), soit \(G_1\left(2\,;\dfrac{11}{3}\right)\). Second groupe : \(G_2\left(\dfrac{4+5}{2}\,;\dfrac{4+5}{2}\right)\), soit \(G_2(4{,}5\,;4{,}5)\).
\(a=\dfrac{4{,}5-\frac{11}{3}}{4{,}5-2}=\dfrac{\frac56}{\frac52}=\dfrac13\) et \(b=4{,}5-\dfrac13\times 4{,}5=3\). La droite de Mayer a pour équation \(y=\dfrac13x+3\). Contrôle avec le point moyen \(G(3\,;4)\) : \(\dfrac13\times 3+3=4\).
Former les groupes sans ranger les points. Les deux groupes se font selon l'ordre des abscisses : les plus petites d'un côté, les plus grandes de l'autre.
Croire que la droite passe par des points du nuage. Elle passe par \(G_1\), \(G_2\) et \(G\), qui ne sont en général pas des points de la série.
Extrapoler trop loin. Rien ne garantit que la tendance observée sur six mois durera trois ans : une prévision n'a de valeur que près des données.
Résumé
À chaque individu, un couple \((x_i\,;y_i)\) de valeurs.
Les points \(M_i(x_i\,;y_i)\) placés dans un repère, sans les relier.
\(G(\bar x\,;\bar y)\) : les moyennes des deux caractères.
Deux groupes de même effectif, selon les abscisses ; points moyens \(G_1\) et \(G_2\).
La droite \((G_1G_2)\) ; elle passe par le point moyen \(G\).
On remplace \(x\) dans \(y=ax+b\) : interpolation ou extrapolation.