Première L · Leçon 6
Variations et plan d’étude d’une fonction
Ce que dit le programme officiel (3 points)
- Sens de variation et signe de la dérivée ; extremum (dérivée qui s’annule en changeant de signe)
- Plan d’étude : ensemble de définition, limites, parité, tableau de variations, points particuliers, tracé ; symétries des fonctions paires et impaires
- Situations issues des sciences économiques et sociales
Source : Programme de mathématiques, séries L (Sénégal), octobre 2006
Signe de la dérivée, variations et extremums
Soit \(f\) dérivable sur un intervalle \(I\) :
• si \(f\) admet un maximum ou un minimum en un point \(x_0\) distinct des
extrémités de \(I\), alors \(f'(x_0)=0\) ;
• si \(f'\) est nulle sur \(I\), alors \(f\) est constante sur \(I\) ;
• si \(f'\) est positive sur \(I\), alors \(f\) est croissante sur \(I\)
(énoncé analogue pour une fonction décroissante).
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Voir les offresPlan d'étude complet d'une fonction et représentation graphique
Étudier complètement une fonction, c'est enchaîner dans un ordre logique tous les outils vus jusqu'ici : ensemble de définition, parité, limites et asymptotes, dérivée, tableau de variation, points remarquables, éléments de symétrie. Suivre toujours le même plan évite les oublis et donne une représentation graphique fidèle. C'est le type de problème le plus fréquent en fin de Première et au Bac.
Soit \(f\) une fonction d'ensemble de définition \(D\) et \(\mathcal{C}\) sa courbe dans un repère orthonormé.
- Si \(f\) est paire (\(D\) symétrique par rapport à \(0\) et \(f(-x)=f(x)\)), \(\mathcal{C}\) est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées : on étudie \(f\) sur \(D\cap[0\,;+\infty[\) et on complète par symétrie.
- Si \(f\) est impaire (\(D\) symétrique par rapport à \(0\) et \(f(-x)=-f(x)\)), \(\mathcal{C}\) est symétrique par rapport à l'origine : même réduction, et les variations sont les mêmes sur les deux intervalles symétriques.
- La droite d'équation \(x=a\) est axe de symétrie de \(\mathcal{C}\) si, pour tout \(x\) de \(D\), \(2a-x\) appartient à \(D\) et \(f(2a-x)=f(x)\).
- Le point \(\Omega(a\,;b)\) est centre de symétrie de \(\mathcal{C}\) si, pour tout \(x\) de \(D\), \(2a-x\) appartient à \(D\) et \(f(2a-x)+f(x)=2b\).
- Si \(f\) est périodique de période \(T\), on l'étudie sur un intervalle de longueur \(T\), puis on reproduit la courbe par translations.
- Ensemble de définition \(D\).
- Parité, périodicité : si elles existent, réduis l'intervalle d'étude.
- Limites aux bornes de l'intervalle d'étude et asymptotes : verticale, horizontale, oblique.
- Dérivée : calcul, factorisation, signe.
- Tableau de variation complet, avec les limites et les valeurs des extremums.
- Points remarquables : intersections avec les axes, extremums, tangentes utiles (en particulier en \(0\) et aux points où la courbe coupe les axes).
- Éléments de symétrie à démontrer si l'énoncé les suggère.
- Tracé : asymptotes, points et tangentes, puis la courbe, en respectant le tableau ; complète par symétrie si l'étude a été réduite.
Pour tracer une tangente sans son équation, place le point de contact, puis un second point obtenu en avançant de \(1\) en abscisse et de \(f'(x_0)\) en ordonnée.
Énoncé : Fais l'étude complète de \(f(x)=x^3-3x\) et trace sa courbe.
Solution : \(D=\mathbb{R}\), symétrique par rapport à \(0\), et \(f(-x)=-x^3+3x=-f(x)\) : \(f\) est impaire, sa courbe est symétrique par rapport à l'origine. On l'étudie sur \([0\,;+\infty[\).
Limite : \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}x^3=+\infty\).
Dérivée : \(f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)\). Sur \([0\,;+\infty[\), \(x+1\gt 0\), donc \(f'(x)\) a le signe de \(x-1\) : \(f\) est décroissante sur \([0\,;1]\) et croissante sur \([1\,;+\infty[\), avec \(f(0)=0\) et \(f(1)=1-3=-2\), minimum relatif.
Par imparité, \(f\) est croissante sur \(]-\infty\,;-1]\), décroissante sur \([-1\,;0]\), et \(f(-1)=-f(1)=2\) est un maximum relatif.
Points remarquables : \(f(x)=x(x^2-3)=0\iff x=0\) ou \(x=\sqrt3\) ou \(x=-\sqrt3\). Tangente en \(O\) : \(f'(0)=-3\), donc la tangente a pour équation \(y=-3x\).
Courbe de \(f(x)=x^3-3x\) et sa tangente en \(O\)
La courbe est symétrique par rapport à l'origine. Maximum relatif \((-1\,;2)\), minimum relatif \((1\,;-2)\), tangente \(y=-3x\) en \(O\) (en pointillés).
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Voir les offresQuand on étudie une fonction impaire seulement sur \([0\,;+\infty[\), il faut ensuite déduire les variations et les valeurs sur \(]-\infty\,;0]\). Erreur fréquente avec \(f(x)=x^3-3x\) : écrire que \(f(-1)=-2\) parce que \(f(1)=-2\), comme si la fonction était paire. Pour une fonction impaire, \(f(-1)=-f(1)=2\).
Autre erreur : affirmer qu'un point est centre de symétrie sans le démontrer. Il faut vérifier \(f(2a-x)+f(x)=2b\) pour tout \(x\) de \(D\) (après avoir vérifié que \(2a-x\) est aussi dans \(D\)), et pas seulement sur un ou deux exemples : un contrôle numérique ne remplace pas la démonstration.
Rédige ton tableau de variation avec soin : sur la ligne des variations figurent toutes les limites et les valeurs des extremums, et une double barre sous chaque valeur interdite. Ajoute ensuite deux ou trois valeurs calculées, par exemple les intersections avec les axes. Le tracé ne doit plus rien inventer : il traduit fidèlement le tableau.
Quand tu dois aller vite sans perdre de rigueur, adopte ce réflexe : asymptotes d’abord, variations ensuite, points remarquables enfin. En effet, les asymptotes fixent le cadre général de la figure, les variations donnent le sens des branches, et les points remarquables servent à ancrer précisément la courbe.
Un autre bon réflexe consiste à rechercher une écriture plus lisible avant de dériver. Par exemple, pour une fonction rationnelle, une décomposition du type \(f(x)=ax+b+\dfrac{c}{dx+e}\) fait apparaître immédiatement la partie affine, l’asymptote oblique éventuelle, l’asymptote verticale et souvent un centre de symétrie. Tu gagnes du temps et tu comprends mieux la courbe.
Avant de terminer, fais un contrôle final en te posant trois questions : la courbe respecte-t-elle les symétries trouvées ? suit-elle bien les sens de variation ? se rapproche-t-elle correctement des asymptotes ? Si la réponse est oui, ton tracé a de grandes chances d’être juste.
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