Première L · Leçon 7
Fonctions polynômes
Ce que dit le programme officiel (1 points)
- Fonction polynôme du second degré, du troisième degré (dérivée à racine évidente), fonction bicarrée
Source : Programme de mathématiques, séries L (Sénégal), octobre 2006
Étude d'une fonction polynôme
Les fonctions polynômes de degré 2 ou 3 modélisent de nombreuses situations : trajectoire d'un objet lancé, bénéfice d'une entreprise selon la quantité produite, volume d'une boîte selon ses dimensions. Étudier une telle fonction, c'est connaître son ensemble de définition, ses limites, son sens de variation, ses extremums, les points remarquables de sa courbe, puis tracer cette courbe avec précision. La dérivée, étudiée dans la leçon précédente, est l'outil principal de cette étude.
Une fonction polynôme de degré inférieur ou égal à 3 est une fonction de la forme \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\), où \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) sont des nombres réels. Si \(a\neq0\), elle est de degré \(3\) ; si \(a=0\) et \(b\neq0\), elle est de degré \(2\).
- Elle est définie, continue et dérivable sur \(\mathbb{R}\).
- Sa dérivée est \(f'(x)=3ax^2+2bx+c\), qui est un polynôme de degré inférieur ou égal à \(2\) : son signe s'étudie avec le discriminant ou une factorisation.
- Une fonction polynôme de degré \(2\) peut s'écrire sous forme canonique \(f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta\) ; sa courbe est une parabole de sommet \(S(\alpha\,;\beta)\).
1) Limites en l'infini. En \(+\infty\) et en \(-\infty\), une fonction polynôme a la même limite que son terme de plus haut degré. Par exemple \(\lim\limits_{x\to+\infty}(x^3-6x^2+9x)=\lim\limits_{x\to+\infty}x^3=+\infty\). On le justifie en factorisant : \(x^3-6x^2+9x=x^3\left(1-\dfrac6x+\dfrac9{x^2}\right)\), et la parenthèse tend vers \(1\).
2) Variations. Sur un intervalle, si \(f'(x)\gt 0\), sauf en des points isolés où \(f'\) s'annule, alors \(f\) est strictement croissante ; si \(f'(x)\lt 0\) alors \(f\) est strictement décroissante.
3) Extremums. Si \(f'\) s'annule en \(x_0\) en changeant de signe, alors \(f(x_0)\) est un extremum relatif : un maximum si \(f'\) passe de \(+\) à \(-\), un minimum si \(f'\) passe de \(-\) à \(+\).
4) Symétries. La parabole d'équation \(y=a(x-\alpha)^2+\beta\) admet la droite d'équation \(x=\alpha\) pour axe de symétrie. La courbe d'une fonction polynôme de degré \(3\), \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\), admet pour centre de symétrie le point \(\Omega\) d'abscisse \(\alpha=-\dfrac{b}{3a}\) et d'ordonnée \(f(\alpha)\).
Justification. En développant, pour tout réel \(h\) : \(f(\alpha+h)=f(\alpha)+(3a\alpha^2+2b\alpha+c)h+(3a\alpha+b)h^2+ah^3\). Comme \(3a\alpha+b=0\), il reste \(f(\alpha+h)=f(\alpha)+f'(\alpha)h+ah^3\). En remplaçant \(h\) par \(-h\) : \(f(\alpha-h)=f(\alpha)-f'(\alpha)h-ah^3\). En additionnant, \(f(\alpha-h)+f(\alpha+h)=2f(\alpha)\) : les points de la courbe d'abscisses \(\alpha-h\) et \(\alpha+h\) sont symétriques par rapport à \(\Omega\).
- Ensemble de définition : \(\mathbb{R}\).
- Limites en \(-\infty\) et \(+\infty\) avec le terme de plus haut degré.
- Dérivée : calcule \(f'(x)\), factorise-la si possible et étudie son signe (tableau de signes).
- Tableau de variation : place les limites, les flèches et les valeurs de \(f\) aux points où \(f'\) s'annule.
- Points remarquables : intersection avec l'axe des ordonnées \((0\,;f(0))\), avec l'axe des abscisses (solutions de \(f(x)=0\) quand on sait les trouver), extremums, élément de symétrie.
- Tracé : place d'abord les points remarquables et les tangentes horizontales aux extremums, puis trace la courbe en respectant le tableau de variation.
Énoncé : Étudie la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x^3-6x^2+9x\) et donne les éléments utiles à sa représentation graphique.
Solution : \(f\) est définie sur \(\mathbb{R}\). Limites : \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}x^3=+\infty\) et \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to-\infty}x^3=-\infty\).
Dérivée : \(f'(x)=3x^2-12x+9=3(x^2-4x+3)=3(x-1)(x-3)\). Ce trinôme est positif à l'extérieur de ses racines \(1\) et \(3\), négatif entre elles. Donc \(f\) est croissante sur \(]-\infty\,;1]\), décroissante sur \([1\,;3]\), croissante sur \([3\,;+\infty[\).
Valeurs : \(f(1)=1-6+9=4\), maximum relatif ; \(f(3)=27-54+27=0\), minimum relatif.
Points remarquables : \(f(x)=x(x^2-6x+9)=x(x-3)^2\), donc la courbe coupe l'axe des abscisses en \(x=0\) et touche cet axe en \(x=3\), où la tangente est horizontale. Centre de symétrie : \(-\dfrac{b}{3a}=-\dfrac{-6}{3}=2\) et \(f(2)=8-24+18=2\), donc \(\Omega(2\,;2)\). Contrôle : \(f(1)+f(3)=4+0=4=2\times2\).
Courbe de \(f(x)=x^3-6x^2+9x\)
Le maximum \((1\,;4)\), le minimum \((3\,;0)\) où la courbe touche l'axe des abscisses, et le centre de symétrie \(\Omega(2\,;2)\).
Réservé aux abonnés Premium et Élève-Classe.
Voir les offresBeaucoup d'élèves pensent qu'une fonction de degré \(3\) a toujours un maximum et un minimum, ou qu'il suffit que \(f'(x_0)=0\) pour avoir un extremum en \(x_0\). C'est faux.
Contre-exemple : \(h(x)=x^3\). On a \(h'(x)=3x^2\), qui s'annule en \(0\) mais reste positive de part et d'autre : \(h\) est croissante sur \(\mathbb{R}\) et n'a aucun extremum. La courbe a seulement une tangente horizontale en \(O\). Il faut donc toujours vérifier que \(f'\) change de signe.
Autre piège : écrire \(\lim\limits_{x\to+\infty}(x^3-6x^2)=+\infty-\infty=0\). La forme « \(+\infty-\infty\) » est indéterminée ; on factorise par le terme de plus haut degré.
Avant de tracer, vérifie la cohérence de ton tableau : une flèche montante doit aller d'une valeur plus petite vers une plus grande, et les valeurs de \(f\) aux extremums doivent être calculées dans l'expression de départ, pas dans \(f'\). Pour un polynôme de degré \(3\), le centre de symétrie est aussi le milieu des deux extremums quand il y en a : ici le milieu de \((1\,;4)\) et \((3\,;0)\) est bien \((2\,;2)\).
Étude de fonctions polynômes du second et du troisième degré et de fonctions bicarrées
Étudier une fonction polynôme, c'est appliquer le plan d'étude : ensemble de définition, limites, parité, dérivée et son signe, tableau de variations, quelques points, puis la courbe. On traite ici trois familles : le second degré, le troisième degré quand la dérivée a des racines faciles, et les fonctions bicarrées, qui sont paires.
1) Ensemble de définition : \(\mathbb R\). Parité : si \(f(-x)=f(x)\), la fonction est paire (courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées) ; on peut alors l'étudier sur \([0\,;+\infty[\).
2) Limites en \(\pm\infty\) : ce sont celles du terme de plus haut degré.
3) Dérivée et son signe : on factorise \(f'(x)\) (racine évidente, puis trinôme) et on fait un tableau de signes.
4) Tableau de variations avec les valeurs des extremums ; points particuliers : intersection avec l'axe des ordonnées \((0\,;f(0))\), avec l'axe des abscisses si l'on sait résoudre \(f(x)=0\).
5) Tracé : placer les points, les tangentes horizontales aux extremums, puis la courbe.
- Second degré \(f(x)=ax^2+bx+c\) : \(f'(x)=2ax+b\) s'annule en \(-\dfrac b{2a}\) ; la courbe est une parabole dont le sommet a pour abscisse \(-\dfrac b{2a}\).
- Troisième degré \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\) : \(f'\) est un trinôme ; s'il a deux racines, \(f\) a un maximum local et un minimum local.
- Bicarrée \(f(x)=ax^4+bx^2+c\) : elle est paire ; \(f'(x)=4ax^3+2bx=2x(2ax^2+b)\) s'annule en 0 et éventuellement en deux valeurs opposées. L'équation \(f(x)=0\) se résout en posant \(X=x^2\).
Énoncé. Étudier \(f(x)=x^2-4x+3\), puis \(g(x)=x^3-3x^2+4\).
Solution : \(f'(x)=2x-4\), négatif pour \(x\lt2\), positif pour \(x\gt2\) : \(f\) décroît puis croît, minimum \(f(2)=-1\) ; limites \(+\infty\) aux deux bouts ; \(f(x)=(x-1)(x-3)\) s'annule en 1 et 3.
\(g'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)\) : positif sur \(]-\infty\,;0[\), négatif sur \(]0\,;2[\), positif sur \(]2\,;+\infty[\). Maximum local \(g(0)=4\), minimum local \(g(2)=0\). Limites : \(-\infty\) en \(-\infty\), \(+\infty\) en \(+\infty\). On vérifie que \(g(-1)=0\) ; en effet \(g(x)=(x+1)(x-2)^2\) : la courbe coupe l'axe en \(-1\) et le touche en 2.
Énoncé. Étudier \(h(x)=x^4-2x^2\) et tracer sa courbe.
Solution : \(h(-x)=h(x)\) : \(h\) est paire. \(h'(x)=4x^3-4x=4x(x-1)(x+1)\). Sur \([0\,;+\infty[\) : \(h'\) est négative sur \(]0\,;1[\) et positive sur \(]1\,;+\infty[\) ; \(h\) décroît de \(h(0)=0\) à \(h(1)=-1\), puis croît vers \(+\infty\). Par symétrie, minimum \(-1\) aussi en \(-1\).
\(h(x)=x^2(x^2-2)\) s'annule en 0, \(\sqrt2\) et \(-\sqrt2\). Points : \((2\,;8)\), \((-2\,;8)\).
Figure — La courbe de la fonction bicarrée h
La courbe de h(x) = x⁴ − 2x², en bleu, symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Elle a deux minimums égaux à −1, en −1 et en 1, un maximum local 0 en 0, et coupe l'axe des abscisses en −√2, 0 et √2.
Conclure sur les variations sans tableau de signes. Il faut le signe de \(f'\) sur chaque intervalle, pas seulement les valeurs où elle s'annule.
Oublier une racine double. Pour \(g\), la valeur 2 annule \(g\) et \(g'\) : la courbe touche l'axe des abscisses sans le traverser.
Résumé
Définition, parité, limites, dérivée et signe, variations, points, tracé.
Factoriser \(f'\) (racine évidente) pour trouver maximum et minimum locaux.
Fonction paire ; \(f(x)=0\) se résout avec \(X=x^2\).