Première L · Leçon 4
Limites et continuité
Ce que dit le programme officiel (3 points)
- Notion de limite (présentée sur les courbes tracées en Seconde) ; x tend vers l’infini ; unicité de la limite
- Opérations sur les limites ; limite à droite, à gauche ; lever une indétermination
- Continuité en un point, sur un intervalle ; polynômes et fonctions rationnelles continues sur leur ensemble de définition
Source : Programme de mathématiques, séries L (Sénégal), octobre 2006
Limites des fonctions de référence en l'infini et en un réel
Pour les fonctions de référence \(x\), \(x^2\), \(x^3\), \(\sqrt x\), \(\dfrac1x\), \(\dfrac1{x^2}\), on connaît leur comportement quand \(|x|\) devient grand. Si \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=\ell\) (fini), la droite \(y=\ell\) est asymptote horizontale à la courbe.
Comme pour \(x\mapsto\dfrac1x\) et \(x\mapsto\dfrac1{x^2}\) en \(0\), une fonction peut avoir une limite infinie en un réel \(a\) (borne de son ensemble de définition). La droite \(x=a\) est alors asymptote verticale à la courbe.
Les limites d'une somme, d'un produit par une constante, d'un produit, d'un inverse et d'un quotient de fonctions s'obtiennent en combinant les limites de chaque fonction.
Soit \(k(x)=\dfrac{2x+2}{x-1}\), définie sur \(\mathbb R\setminus\{1\}\). En écrivant \(2x+2=2(x-1)+4\), on obtient :
\[ k(x)=2+\dfrac4{x-1}. \]Quand \(x\to+\infty\) ou \(x\to-\infty\), \(\dfrac4{x-1}\to0\), donc \(k(x)\to2\) : la droite \(y=2\) est asymptote horizontale. Quand \(x\to1^+\), \(\dfrac4{x-1}\to+\infty\) donc \(k(x)\to+\infty\) ; quand \(x\to1^-\), \(k(x)\to-\infty\) : la droite \(x=1\) est asymptote verticale.
Figure — Courbe de \(k(x)=\dfrac{2x+2}{x-1}\) et ses deux asymptotes
Asymptote verticale \(x=1\) et asymptote horizontale \(y=2\), toutes deux en pointillés.
Continuité en un point et sur un intervalle, types de discontinuité
Intuitivement, une fonction est continue sur un intervalle si l'on peut tracer sa courbe sur cet intervalle sans lever le crayon. Cette image est utile, mais elle ne suffit pas pour démontrer : on définit la continuité à l'aide des limites. La continuité sert ensuite à justifier l'existence de solutions d'équations et à étudier des fonctions définies « par morceaux », c'est-à-dire par des formules différentes selon les valeurs de \(x\).
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) et \(x_0\) un réel de \(I\).
- \(f\) est continue en \(x_0\) lorsque \(f\) admet une limite en \(x_0\) et que cette limite est égale à \(f(x_0)\) : \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)\).
- Lorsque \(x_0\) n'est pas une borne de \(I\), cela revient à dire que la limite à gauche et la limite à droite en \(x_0\) existent et sont toutes deux égales à \(f(x_0)\) : \(\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)=\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)=f(x_0)\).
- \(f\) est continue sur l'intervalle \(I\) lorsqu'elle est continue en chaque point de \(I\).
Sinon, on dit que \(f\) est discontinue en \(x_0\). On ne parle de continuité qu'en un point où la fonction est définie.
- Les fonctions polynômes sont continues sur \(\mathbb{R}\).
- Les fonctions rationnelles sont continues sur chaque intervalle de leur ensemble de définition. Par exemple, \(x\mapsto\dfrac1x\) est continue sur \(]-\infty\,;0[\) et sur \(]0\,;+\infty[\) ; elle n'est pas définie en \(0\), donc la question de la continuité en \(0\) ne se pose pas.
- La fonction \(x\mapsto\sqrt x\) est continue sur \([0\,;+\infty[\), et les fonctions \(x\mapsto\cos x\) et \(x\mapsto\sin x\) sont continues sur \(\mathbb{R}\).
- La somme, le produit et le quotient (quand le dénominateur ne s'annule pas) de fonctions continues sont continus.
Conséquence pratique : pour une fonction définie par une seule formule polynôme ou rationnelle, la continuité est acquise sur chaque intervalle où elle est définie. Le travail porte sur les points de « raccord » d'une fonction définie par morceaux.
Types de discontinuité. En un point \(x_0\) où \(f\) est définie, une discontinuité peut se produire de deux façons principales :
- discontinuité par saut : les limites à gauche et à droite existent mais sont différentes (exemple 2 ci-dessous) ;
- valeur isolée : les limites à gauche et à droite sont égales, mais différentes de \(f(x_0)\) (voir le piège).
Il arrive aussi qu'une limite à gauche ou à droite soit infinie : la fonction n'a alors pas de limite finie en \(x_0\) et ne peut pas y être continue.
Soit \(f\) définie par \(f(x)=u(x)\) si \(x\lt x_0\) et \(f(x)=v(x)\) si \(x\ge x_0\), avec \(u\) et \(v\) continues.
- Calcule \(f(x_0)\) avec la formule qui contient \(x_0\) : ici \(f(x_0)=v(x_0)\).
- Calcule la limite à gauche : \(\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)=\lim\limits_{x\to x_0}u(x)=u(x_0)\), car \(u\) est continue.
- Calcule la limite à droite : \(\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)=v(x_0)\).
- Conclus : \(f\) est continue en \(x_0\) si et seulement si ces trois nombres sont égaux.
Si un paramètre intervient dans une formule, écris l'égalité des limites et résous l'équation obtenue pour trouver la valeur qui rend \(f\) continue.
Énoncé : Soit \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x+1\) si \(x\lt 1\) et \(f(x)=3-x\) si \(x\ge1\). Étudie la continuité de \(f\) en \(1\), puis sur \(\mathbb{R}\).
Solution : On a \(f(1)=3-1=2\). Limite à gauche : \(\lim\limits_{x\to1^-}f(x)=\lim\limits_{x\to1}(x+1)=2\). Limite à droite : \(\lim\limits_{x\to1^+}f(x)=\lim\limits_{x\to1}(3-x)=2\). Les trois valeurs sont égales, donc \(f\) est continue en \(1\).
Sur \(]-\infty\,;1[\) et sur \(]1\,;+\infty[\), \(f\) est définie par un polynôme, donc elle est continue. Avec la continuité en \(1\), \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\) : sa courbe est formée de deux demi-droites qui se rejoignent au point \((1\,;2)\).
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Voir les offresDiscontinuité par saut de \(g\) en \(2\)
Le point plein \((2\,;4)\) appartient à la courbe ; le point vide \((2\,;3)\) n'en fait pas partie. Il faut lever le crayon en \(x=2\) : \(g\) n'est pas continue en \(2\).
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Voir les offresUne fonction peut avoir des limites à gauche et à droite égales sans être continue. Soit \(k\) définie par \(k(x)=x+1\) si \(x\neq1\) et \(k(1)=5\). On a \(\lim\limits_{x\to1^-}k(x)=\lim\limits_{x\to1^+}k(x)=2\), mais \(k(1)=5\neq2\) : \(k\) n'est pas continue en \(1\). Sa courbe est la droite \(y=x+1\) privée du point \((1\,;2)\), plus un point isolé \((1\,;5)\). Il faut toujours comparer les limites à la valeur \(f(x_0)\).
Autre erreur fréquente : dire que \(x\mapsto\dfrac1x\) est « discontinue en \(0\) ». Elle n'est pas définie en \(0\) ; elle est continue sur chacun des intervalles où elle est définie.
À un point de raccord \(x_0\), écris toujours trois lignes : la valeur \(f(x_0)\), la limite à gauche, la limite à droite. Conclus ensuite en une phrase. Cette présentation montre au correcteur que tu as vérifié les trois conditions, et elle évite de confondre la formule valable à gauche et celle valable à droite.
Résumé
Valeurs, tableau de variations, symétrie, image d'un intervalle.
\(\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\ell\) fini \(\Rightarrow y=\ell\).
Limite infinie en \(a\) \(\Rightarrow x=a\) asymptote.
Combiner les limites de chaque fonction (admis).
Sujet type devoir
Question 1. Soit \(s(x)=\dfrac{x-3}{x+1}\). Écrire \(s(x)\) sous la forme \(1+\dfrac c{x+1}\), puis déterminer les limites de \(s\) en \(+\infty\) et \(-\infty\).
\(x-3=(x+1)-4\), donc \(s(x)=1-\dfrac4{x+1}\). Quand \(x\to\pm\infty\), \(s(x)\to1\) : la droite \(y=1\) est asymptote horizontale.
Question 2. Déterminer les limites de \(s\) en \((-1)^-\) et en \((-1)^+\), puis en déduire une asymptote.
Quand \(x\to(-1)^+\), \(x+1\to0^+\), donc \(\dfrac4{x+1}\to+\infty\) et \(s(x)\to-\infty\). Quand \(x\to(-1)^-\), \(s(x)\to+\infty\). La droite \(x=-1\) est asymptote verticale.
Question 3. Soit \(t(x)=-(x-1)^2+4\). Donner son tableau de variations et l'axe de symétrie de sa courbe.
Axe de symétrie \(x=1\), maximum \(t(1)=4\). \(t\) est croissante sur \(]-\infty;1]\), décroissante sur \([1;+\infty[\).