Première L · Leçon 8
Fonctions homographiques
Ce que dit le programme officiel (2 points)
- Étude de x ↦ 1/x et x ↦ k/x
- Fonctions x ↦ (ax + b)/(cx + d), c non nul ; asymptotes parallèles aux axes ; leur point d’intersection est centre de symétrie
Source : Programme de mathématiques, séries L (Sénégal), octobre 2006
Taux de variation ; fonctions x ↦ k/x et fonctions homographiques
Rappel de SecondeDire qu'une fonction est croissante, c'est dire que ses images sont rangées dans le même ordre que les nombres de départ. Pour le démontrer, on compare la variation des images à la variation de la variable : leur quotient s'appelle le taux de variation. Son signe donne le sens de variation. On l'applique ici aux fonctions de référence, puis aux fonctions dont la courbe est une hyperbole.
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\), et \(a\), \(b\) deux réels distincts de \(I\). Le taux de variation de \(f\) entre \(a\) et \(b\) est le nombre
\[T(a,b)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.\]C'est le coefficient directeur de la droite qui passe par les points de la courbe d'abscisses \(a\) et \(b\). Il ne change pas si l'on échange \(a\) et \(b\).
Théorème. Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\).
- Si \(T(a,b)\gt 0\) pour tous réels distincts \(a\) et \(b\) de \(I\), alors \(f\) est strictement croissante sur \(I\).
- Si \(T(a,b)\lt 0\) pour tous réels distincts \(a\) et \(b\) de \(I\), alors \(f\) est strictement décroissante sur \(I\).
- Si \(T(a,b)=0\) pour tous réels distincts \(a\) et \(b\) de \(I\), alors \(f\) est constante sur \(I\).
En effet, si le taux est positif, \(f(b)-f(a)\) et \(b-a\) ont le même signe : \(a\lt b\) entraîne \(f(a)\lt f(b)\).
Pour deux réels distincts \(a\) et \(b\) de l'ensemble de définition :
| Fonction | Taux de variation entre a et b |
|---|---|
| \(x\mapsto mx+p\) | \(m\) |
| \(x\mapsto x^2\) | \(a+b\) |
| \(x\mapsto x^3\) | \(a^2+ab+b^2\) |
| \(x\mapsto\dfrac1x\) (\(a\) et \(b\) de même signe) | \(-\dfrac{1}{ab}\) |
| \(x\mapsto\sqrt x\) | \(\dfrac{1}{\sqrt a+\sqrt b}\) |
Par exemple, pour la fonction carré : \(\dfrac{b^2-a^2}{b-a}=\dfrac{(b-a)(b+a)}{b-a}=a+b\). Ce taux est négatif si \(a\) et \(b\) sont négatifs, positif s'ils sont positifs : la fonction carré est décroissante sur \(]-\infty\,;0]\) et croissante sur \([0\,;+\infty[\). Pour la fonction inverse : \(\dfrac{\frac1b-\frac1a}{b-a}=\dfrac{a-b}{ab(b-a)}=-\dfrac{1}{ab}\).
Si l'on multiplie une fonction par un réel \(k\), son taux de variation est multiplié par \(k\) ; si on lui ajoute une constante, il ne change pas.
Fonction \(x\mapsto\dfrac kx\) (\(k\neq 0\)). Elle est définie pour \(x\neq 0\) et impaire : sa courbe, une hyperbole, est symétrique par rapport à l'origine. Son taux de variation entre deux réels de même signe est \(-\dfrac{k}{ab}\), du signe de \(-k\). Donc :
- si \(k\gt 0\), la fonction est strictement décroissante sur \(]-\infty\,;0[\) et sur \(]0\,;+\infty[\) ;
- si \(k\lt 0\), elle est strictement croissante sur chacun de ces deux intervalles.
Quand \(x\) devient très grand, \(\dfrac kx\) devient très proche de 0 : la courbe se rapproche de l'axe des abscisses sans l'atteindre. Quand \(x\) est très proche de 0, \(\dfrac kx\) devient très grand en valeur absolue : la courbe se rapproche de l'axe des ordonnées. On dit que les deux axes sont des asymptotes de la courbe.
Fonctions homographiques. Une fonction telle que \(x\mapsto\dfrac{ax+b}{cx}\), ou plus généralement \(x\mapsto\dfrac{ax+b}{cx+d}\) (avec \(c\neq 0\) et \(ad-bc\neq 0\)), se ramène à la précédente : on l'écrit sous la forme \(\beta+\dfrac{k}{x-\alpha}\). Dans le repère d'origine \(\Omega(\alpha\,;\beta)\), sa courbe a pour équation \(Y=\dfrac kX\) : c'est une hyperbole de centre \(\Omega\), dont les asymptotes sont les droites d'équations \(x=\alpha\) et \(y=\beta\), parallèles aux axes.
Avec le taux de variation. On prend deux réels distincts \(a\) et \(b\) dans l'intervalle étudié, on calcule \(f(b)-f(a)\), on factorise par \(b-a\) puis on simplifie. On étudie enfin le signe du taux, en utilisant ce que l'on sait de \(a\) et \(b\) (par exemple « tous deux supérieurs à 2 »).
Avec un changement de repère, pour une fonction homographique. On écrit \(f(x)=\beta+\dfrac{k}{x-\alpha}\) (par une division ou en faisant apparaître le dénominateur au numérateur). On pose \(X=x-\alpha\) et \(Y=y-\beta\) : la courbe devient \(Y=\dfrac kX\). On en déduit le sens de variation sur chacun des intervalles \(]-\infty\,;\alpha[\) et \(]\alpha\,;+\infty[\), les asymptotes et le centre de symétrie.
Pour tracer. On place les deux asymptotes en pointillés, quelques points de chaque côté, puis deux branches qui se rapprochent des asymptotes sans les couper.
Énoncé. Étudier, à l'aide du taux de variation, le sens de variation de \(f(x)=x^2-4x\) sur \(]-\infty\,;2]\) et sur \([2\,;+\infty[\).
Solution : Pour \(a\neq b\) : \(f(b)-f(a)=b^2-a^2-4(b-a)=(b-a)(b+a)-4(b-a)=(b-a)(a+b-4)\). Le taux de variation vaut donc \(T(a,b)=a+b-4\).
Si \(a\) et \(b\) sont deux réels distincts de \([2\,;+\infty[\), alors \(a+b\gt 4\) (l'un au moins est strictement supérieur à 2), donc \(T(a,b)\gt 0\) : \(f\) est strictement croissante sur \([2\,;+\infty[\).
Si \(a\) et \(b\) sont deux réels distincts de \(]-\infty\,;2]\), alors \(a+b\lt 4\), donc \(T(a,b)\lt 0\) : \(f\) est strictement décroissante sur \(]-\infty\,;2]\). La fonction admet un minimum en 2, égal à \(f(2)=-4\).
Énoncé. Soit \(g(x)=\dfrac{2x+3}{x}\), définie pour \(x\neq 0\). Étudier son sens de variation et décrire sa courbe.
Solution : \(g(x)=\dfrac{2x}{x}+\dfrac3x=2+\dfrac3x\). Ajouter la constante 2 ne change pas le taux de variation : pour \(a\) et \(b\) distincts et de même signe, \(T(a,b)=-\dfrac{3}{ab}\), qui est strictement négatif. Donc \(g\) est strictement décroissante sur \(]-\infty\,;0[\) et sur \(]0\,;+\infty[\).
Dans le repère d'origine \(\Omega(0\,;2)\), on a \(X=x\) et \(Y=y-2\), et la courbe a pour équation \(Y=\dfrac3X\) : c'est une hyperbole de centre \(\Omega\). Ses asymptotes sont l'axe des ordonnées et la droite d'équation \(y=2\).
Quelques points : \(g(1)=5\), \(g(3)=3\), \(g(-1)=-1\), \(g(-3)=1\). La courbe coupe l'axe des abscisses lorsque \(2x+3=0\), c'est-à-dire en \(x=-1{,}5\).
Énoncé. Soit \(h(x)=\dfrac{2x+1}{x-1}\), définie pour \(x\neq 1\). a) Écrire \(h(x)\) sous la forme \(\beta+\dfrac{k}{x-\alpha}\). b) En déduire le sens de variation de \(h\), les asymptotes et le centre de symétrie de sa courbe.
Solution : a) \(2x+1=2(x-1)+3\), donc \(h(x)=\dfrac{2(x-1)+3}{x-1}=2+\dfrac{3}{x-1}\) : \(\alpha=1\), \(\beta=2\), \(k=3\).
b) On prend pour nouvelle origine \(\Omega(1\,;2)\) : \(X=x-1\), \(Y=y-2\). L'égalité \(y=2+\dfrac{3}{x-1}\) devient \(Y=\dfrac3X\). Comme \(k=3\) est positif, \(Y\) décroît quand \(X\) croît, sur \(]-\infty\,;0[\) et sur \(]0\,;+\infty[\). En revenant à \(x\) : \(h\) est strictement décroissante sur \(]-\infty\,;1[\) et sur \(]1\,;+\infty[\).
La courbe est une hyperbole de centre \(\Omega(1\,;2)\), d'asymptotes les droites d'équations \(x=1\) et \(y=2\). Points utiles : \(h(2)=5\), \(h(4)=3\), \(h(0)=-1\), \(h(-2)=1\) ; elle coupe l'axe des abscisses en \(x=-0{,}5\).
Figure — L'hyperbole de l'exemple 3
En bleu marine, les deux branches de la courbe de la fonction h. En pointillés or, ses deux asymptotes, d'équations x = 1 et y = 2 : la courbe s'en rapproche sans les couper. Elles se croisent au point Ω(1 ; 2), centre de symétrie de la courbe et origine du nouveau repère. Les points marqués sont ceux calculés dans l'exemple.
Dire « décroissante sur \(\mathbb R\) privé de 1 ». La fonction \(h\) de l'exemple 3 est décroissante sur chacun des deux intervalles, mais pas sur leur réunion : \(0\lt 2\) et pourtant \(h(0)=-1\lt h(2)=5\). Le sens de variation se donne intervalle par intervalle.
Conclure sur un seul couple. Calculer le taux entre deux valeurs particulières ne prouve rien : son signe doit être établi pour tous les couples de réels distincts de l'intervalle.
Oublier que \(a\) et \(b\) doivent être de même signe pour la fonction inverse. La formule \(-\dfrac{1}{ab}\) ne sert que sur \(]-\infty\,;0[\) ou sur \(]0\,;+\infty[\), qui sont les deux intervalles où la fonction est définie.
Faire couper une asymptote par la courbe. \(h(x)=2\) n'a pas de solution, car \(\dfrac{3}{x-1}\) n'est jamais nul ; et \(h\) n'est pas définie en 1. La courbe ne rencontre aucune de ses deux asymptotes.
Étude d'une fonction rationnelle
Une fonction rationnelle est un quotient de deux polynômes. Sa courbe présente souvent des branches qui s'éloignent vers l'infini au voisinage d'une valeur interdite, et qui se rapprochent d'une droite quand \(x\) devient très grand. Ces droites, les asymptotes, structurent tout le tracé. En Première, on étudie surtout les fonctions homographiques et les fonctions de la forme \(x\mapsto ax+b+\dfrac{c}{dx+e}\).
- Une fonction homographique est une fonction de la forme \(f(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}\) avec \(c\neq0\) et \(ad-bc\neq0\). Elle est définie sur \(\mathbb{R}\setminus\left\{-\dfrac dc\right\}\). Par division, elle s'écrit sous la forme réduite \(f(x)=\alpha+\dfrac{\beta}{x-x_0}\) avec \(\beta\neq0\).
- Une fonction de la forme \(g(x)=ax+b+\dfrac{c}{dx+e}\), avec \(c\neq0\) et \(d\neq0\), est définie sur \(\mathbb{R}\setminus\left\{-\dfrac ed\right\}\).
La condition \(ad-bc\neq0\) exclut le cas où le numérateur est proportionnel au dénominateur : par exemple \(\dfrac{2x+2}{x+1}=2\) pour \(x\neq-1\), ce qui n'est pas une vraie fonction homographique.
1) Fonction homographique \(f(x)=\alpha+\dfrac{\beta}{x-x_0}\) :
- quand \(x\) tend vers \(x_0\), \(\dfrac{\beta}{x-x_0}\) tend vers \(+\infty\) ou \(-\infty\) selon le côté : la droite d'équation \(x=x_0\) est asymptote verticale ;
- quand \(x\) tend vers \(\pm\infty\), \(\dfrac{\beta}{x-x_0}\) tend vers \(0\), donc \(f(x)\) tend vers \(\alpha\) : la droite d'équation \(y=\alpha\) est asymptote horizontale ;
- le point \(\Omega(x_0\,;\alpha)\), intersection des asymptotes, est centre de symétrie de la courbe, car \(f(2x_0-x)+f(x)=\alpha+\dfrac{\beta}{x_0-x}+\alpha+\dfrac{\beta}{x-x_0}=2\alpha\).
2) Fonction \(g(x)=ax+b+\dfrac{c}{dx+e}\) avec \(a\neq0\) : la droite \(x=-\dfrac ed\) est asymptote verticale ; comme \(g(x)-(ax+b)=\dfrac{c}{dx+e}\) tend vers \(0\) en \(\pm\infty\), la droite d'équation \(y=ax+b\) est asymptote oblique. Le point d'intersection des deux asymptotes, \(\Omega\left(x_0\,;ax_0+b\right)\) avec \(x_0=-\dfrac ed\), est centre de symétrie de la courbe. En effet \(d(2x_0-x)+e=-2e-dx+e=-(dx+e)\), donc \(g(2x_0-x)+g(x)=a(2x_0-x)+b-\dfrac{c}{dx+e}+ax+b+\dfrac{c}{dx+e}=2(ax_0+b)\). Le signe de \(\dfrac{c}{dx+e}\) donne la position de la courbe par rapport à l'asymptote oblique.
- Détermine l'ensemble de définition en cherchant les valeurs qui annulent le dénominateur.
- Si nécessaire, effectue une division pour obtenir la forme réduite \(\alpha+\dfrac{\beta}{x-x_0}\) ou \(ax+b+\dfrac{c}{dx+e}\).
- Calcule les limites aux bornes de l'ensemble de définition. Près de la valeur interdite, étudie le signe du dénominateur à gauche et à droite.
- Déduis-en les asymptotes : verticale, horizontale ou oblique.
- Calcule la dérivée (forme \(\dfrac uv\) ou forme réduite), étudie son signe sur chaque intervalle de l'ensemble de définition, puis dresse le tableau de variation avec une double barre sous la valeur interdite.
- Précise la position de la courbe par rapport à l'asymptote, les points remarquables, le centre de symétrie, puis trace : asymptotes d'abord, courbe ensuite.
Énoncé : Étudie \(f(x)=\dfrac{2x+1}{x-1}\).
Solution : \(f\) est définie sur \(\mathbb{R}\setminus\{1\}\). Comme \(2x+1=2(x-1)+3\), on a \(f(x)=2+\dfrac3{x-1}\).
Limites : quand \(x\) tend vers \(1\) par valeurs supérieures, \(x-1\) tend vers \(0\) en restant positif, donc \(\dfrac3{x-1}\) tend vers \(+\infty\) et \(f(x)\to+\infty\) ; par valeurs inférieures, \(f(x)\to-\infty\). En \(\pm\infty\), \(f(x)\to2\). Donc \(x=1\) est asymptote verticale et \(y=2\) asymptote horizontale.
Dérivée : \(f'(x)=\dfrac{2(x-1)-(2x+1)\times1}{(x-1)^2}=\dfrac{-3}{(x-1)^2}\lt 0\). La fonction \(f\) est donc strictement décroissante sur \(]-\infty\,;1[\) et sur \(]1\,;+\infty[\).
Le point \(\Omega(1\,;2)\) est centre de symétrie. Position : \(f(x)-2=\dfrac3{x-1}\) est positif pour \(x\gt 1\), donc la courbe est au-dessus de l'asymptote \(y=2\) à droite de \(1\) et en dessous à gauche.
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Voir les offresCourbe de \(g(x)=x+2+\dfrac4{x-1}\) et ses asymptotes
Asymptote verticale \(x=1\) et asymptote oblique \(y=x+2\) (en pointillés), maximum relatif \((-1\,;-1)\), minimum relatif \((3\,;7)\) et centre de symétrie \(\Omega(1\,;3)\).
Dans l'exemple 1, \(f'(x)\lt 0\) pour tout \(x\neq1\). On ne peut pourtant pas écrire « \(f\) est décroissante sur \(\mathbb{R}\setminus\{1\}\) ».
Contre-exemple : \(0\lt 2\), et pourtant \(f(0)=\dfrac1{-1}=-1\) est plus petit que \(f(2)=\dfrac51=5\). La fonction « remonte » en passant d'une branche à l'autre, à cause de la valeur interdite. Le sens de variation se donne toujours intervalle par intervalle : \(f\) est décroissante sur \(]-\infty\,;1[\) et sur \(]1\,;+\infty[\).
Autre erreur : oublier d'étudier séparément les limites à gauche et à droite de la valeur interdite ; le signe du dénominateur change de part et d'autre.
Pour tracer la courbe, dessine d'abord les asymptotes en pointillés et place le centre de symétrie. Chaque branche de la courbe « longe » ses asymptotes : il suffit alors de placer les extremums et quelques points calculés pour obtenir un tracé juste. Une branche tracée d'un côté se déduit de l'autre par la symétrie de centre \(\Omega\).
Asymptotes horizontales, verticales, obliques et branches infinies
Pour les fonctions de référence \(x\), \(x^2\), \(x^3\), \(\sqrt x\), \(\dfrac1x\), \(\dfrac1{x^2}\), on connaît leur comportement quand \(|x|\) devient grand. Si \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=\ell\) (fini), la droite \(y=\ell\) est asymptote horizontale à la courbe.
Comme pour \(x\mapsto\dfrac1x\) et \(x\mapsto\dfrac1{x^2}\) en \(0\), une fonction peut avoir une limite infinie en un réel \(a\) (borne de son ensemble de définition). La droite \(x=a\) est alors asymptote verticale à la courbe.
Les limites d'une somme, d'un produit par une constante, d'un produit, d'un inverse et d'un quotient de fonctions s'obtiennent en combinant les limites de chaque fonction.
Soit \(k(x)=\dfrac{2x+2}{x-1}\), définie sur \(\mathbb R\setminus\{1\}\). En écrivant \(2x+2=2(x-1)+4\), on obtient :
\[ k(x)=2+\dfrac4{x-1}. \]Quand \(x\to+\infty\) ou \(x\to-\infty\), \(\dfrac4{x-1}\to0\), donc \(k(x)\to2\) : la droite \(y=2\) est asymptote horizontale. Quand \(x\to1^+\), \(\dfrac4{x-1}\to+\infty\) donc \(k(x)\to+\infty\) ; quand \(x\to1^-\), \(k(x)\to-\infty\) : la droite \(x=1\) est asymptote verticale.
Figure — Courbe de \(k(x)=\dfrac{2x+2}{x-1}\) et ses deux asymptotes
Asymptote verticale \(x=1\) et asymptote horizontale \(y=2\), toutes deux en pointillés.
Résumé
\(T(a,b)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\) pour \(a\neq b\).
Taux toujours positif sur \(I\) : croissante ; toujours négatif : décroissante.
\(k\gt 0\) : décroissante sur \(]-\infty\,;0[\) et sur \(]0\,;+\infty[\) ; \(k\lt 0\) : croissante.
\(\beta+\dfrac{k}{x-\alpha}\) : hyperbole de centre \((\alpha\,;\beta)\), asymptotes \(x=\alpha\) et \(y=\beta\).