Première L · Leçon 5

Dérivabilité

Ce que dit le programme officiel (3 points)

Nombre dérivé ; interprétation géométrique ; équation de la tangente
Fonction dérivée ; dérivée d’une somme, d’un produit, d’un inverse, d’un quotient (sans démonstration)
Dérivées de x ↦ k, ax, ax + b, xⁿ, 1/x, √x

Source : Programme de mathématiques, séries L (Sénégal), octobre 2006

Nombre dérivé, tangente et approximation affine

Quand on zoome sur une courbe autour d'un de ses points, elle finit par ressembler à une droite : la tangente. Son coefficient directeur, le nombre dérivé, dit à quelle vitesse la courbe monte ou descend à cet endroit. Avec les formules de dérivation, on l'obtient par un calcul, sans tracer de sécantes.

De la sécante à la tangente

Le coefficient directeur (ou pente) d'une droite mesure son inclinaison. En observant, sur des exemples, une droite qui joint deux points de plus en plus rapprochés d'une courbe (une sécante), on constate qu'elle se rapproche d'une position limite : la tangente à la courbe en ce point.

Le nombre dérivé de \(f\) en \(x_0\), noté \(f'(x_0)\), est défini comme le coefficient directeur de cette tangente. Si \(f\) admet un nombre dérivé en tout point d'un intervalle \(I\), on obtient la fonction dérivée \(f'\) sur \(I\).

Équation de la tangente \[ y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0). \]

Ce que dit le signe du nombre dérivé

Le nombre dérivé \(f'(x_0)\) est le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse \(x_0\). Donc :

si \(f'(x_0)\gt 0\), la tangente « monte » de la gauche vers la droite ;
si \(f'(x_0)\lt 0\), elle « descend » ;
si \(f'(x_0)=0\), elle est horizontale, d'équation \(y=f(x_0)\).

Deux droites non verticales sont parallèles lorsqu'elles ont le même coefficient directeur : la tangente au point d'abscisse \(x_0\) est parallèle à la droite d'équation \(y=mx+p\) lorsque \(f'(x_0)=m\).

Méthode — Trouver l'équation de la tangente au point d'abscisse x₀

1. Calculer la fonction dérivée \(f'(x)\) avec le tableau des dérivées usuelles et les règles de calcul, rappelés dans la partie suivante de cette leçon.

2. Calculer deux nombres : \(f(x_0)\), l'ordonnée du point de contact, et \(f'(x_0)\), le coefficient directeur de la tangente, en remplaçant \(x\) par \(x_0\).

3. Écrire l'équation \(y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)\), puis développer pour obtenir la forme \(y=mx+p\).

4. Contrôler : en remplaçant \(x\) par \(x_0\) dans l'équation, on doit retrouver \(f(x_0)\).

5. Tracer : on place le point de contact, puis un second point de la tangente en avançant de 1 en abscisse et de \(f'(x_0)\) en ordonnée.

Une tangente est horizontale exactement aux points où \(f'(x_0)=0\).

Exemple 1 — Tangente à une parabole

Énoncé. Soit \(f(x)=x^2-4x+1\). a) Déterminer une équation de la tangente à la courbe de \(f\) au point d'abscisse 3. b) En quel point la tangente est-elle horizontale ?

Solution : a) \(f'(x)=2x-4\). On calcule \(f(3)=9-12+1=-2\) et \(f'(3)=6-4=2\). La tangente a pour équation \(y=-2+2(x-3)\), soit \(y=2x-8\). Contrôle : pour \(x=3\), \(2\times3-8=-2=f(3)\).

b) La tangente est horizontale quand \(f'(x)=0\), c'est-à-dire \(2x-4=0\), soit \(x=2\). Comme \(f(2)=4-8+1=-3\), c'est au point \((2\,;-3)\), et la tangente a pour équation \(y=-3\). Ce point est le sommet de la parabole.

Figure — Les deux tangentes de l'exemple 1

En bleu marine, la parabole d'équation y = x² − 4x + 1. En or, sa tangente au point (3 ; −2), d'équation y = 2x − 8 : elle touche la courbe en ce seul point. En bleu, la tangente horizontale au sommet (2 ; −3), d'équation y = −3.

Exemple 2 — Tangentes de coefficient directeur donné

Énoncé. Soit \(g(x)=x^3-3x\). a) Donner l'équation de la tangente à l'origine. b) En quels points la tangente est-elle parallèle à la droite d'équation \(y=9x\) ? Donner ces tangentes.

Solution : a) \(g'(x)=3x^2-3\), \(g(0)=0\) et \(g'(0)=-3\) : la tangente à l'origine a pour équation \(y=-3x\).

b) Deux droites sont parallèles quand elles ont le même coefficient directeur : on cherche \(x\) tel que \(g'(x)=9\), soit \(3x^2-3=9\), donc \(x^2=4\) : \(x=2\) ou \(x=-2\). Comme \(g(2)=8-6=2\), la tangente en 2 est \(y=2+9(x-2)=9x-16\). Comme \(g(-2)=-8+6=-2\), la tangente en \(-2\) est \(y=-2+9(x+2)=9x+16\).

Exemple 3 — Avec la règle de l'inverse

Énoncé. Soit \(h(x)=\dfrac3{x+1}\) pour \(x\neq-1\). Déterminer la tangente à sa courbe au point d'abscisse 2.

Solution : on écrit \(h=3\times\dfrac1u\) avec \(u(x)=x+1\) et \(u'(x)=1\). D'après la règle \(\left(\dfrac1u\right)'=-\dfrac{u'}{u^2}\), on a \(h'(x)=-\dfrac{3}{(x+1)^2}\).

Puis \(h(2)=\dfrac33=1\) et \(h'(2)=-\dfrac39=-\dfrac13\). La tangente a pour équation \(y=1-\dfrac13(x-2)\), soit \(y=-\dfrac13x+\dfrac53\). Contrôle : pour \(x=2\), \(-\dfrac23+\dfrac53=1\).

Trois erreurs à éviter

Confondre \(f(x_0)\) et \(f'(x_0)\). Le premier est une ordonnée (où passe la tangente), le second une pente (son inclinaison). Dans l'exemple 1, la tangente passe par le point d'ordonnée \(-2\) et a pour coefficient directeur \(2\).

Écrire \(y=f'(x_0)\,x+f(x_0)\). On oublie alors le \(-x_0\) : pour l'exemple 1, cela donnerait \(y=2x-2\), qui ne passe même pas par le point \((3\,;-2)\). Le contrôle de l'étape 4 détecte cette erreur.

Dériver un produit facteur par facteur. La dérivée de \(x\times x=x^2\) est \(2x\), et non \(1\times1=1\) : on applique la règle \((fg)'=f'g+fg'\).

Dérivées usuelles et règles de calcul

Dérivées des fonctions usuelles (admises)

Fonction	Dérivée
\(ax+b\)	\(a\)
\(x^2\)	\(2x\)
\(x^3\)	\(3x^2\)
\(x^n\) (\(n\in\mathbb N^*\))	\(nx^{n-1}\)
\(\dfrac1x\)	\(-\dfrac1{x^2}\)
\(\sqrt x\)	\(\dfrac1{2\sqrt x}\)

Règles de calcul (admises)

\((\lambda f)'=\lambda f'\) ; \((f+g)'=f'+g'\) ; \((fg)'=f'g+fg'\) ; \(\left(\dfrac1f\right)'=-\dfrac{f'}{f^2}\) ; \(\left(\dfrac fg\right)'=\dfrac{f'g-fg'}{g^2}\).

Exemple fil rouge — dérivée et tangente

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Figure interactive — Tangente en un point mobile de la courbe

Faites glisser le point \(P\) le long de la courbe : la tangente et la valeur de \(k'(a)\) se mettent à jour en temps réel.