Première L · Leçon 10
Suites arithmétiques et suites géométriques
Ce que dit le programme officiel (3 points)
- Notion de suite, notations
- Suites arithmétiques : définition, terme général, somme des n premiers termes
- Suites géométriques : définition, terme général, somme des n premiers termes ; problèmes concrets (progression, intérêts)
Source : Programme de mathématiques, séries L (Sénégal), octobre 2006
Suites : définition, modes de génération
Une suite numérique \((u_n)\) associe à chaque entier naturel \(n\) (l'indice, ou rang) un nombre réel \(u_n\) (le terme de rang \(n\)). Deux façons usuelles de la définir :
• à partir d'une fonction \(f\) définie sur \(\mathbb N\) :
\(u_n=f(n)\) pour tout \(n\) ;
• par récurrence : on donne \(u_0\), puis une relation
permettant de calculer \(u_{n+1}\) à partir de \(u_n\).
Suite \(u_n=f(n)\). Soit \(f(x)=2x+1\) et \(u_n=f(n)\). Alors \(u_0=1\), \(u_1=3\), \(u_5=11\).
Suite récurrente. \(u_0=1\) et, pour tout \(n\), \(u_{n+1}=2u_n+1\). On calcule de proche en proche : \(u_1=2\times1+1=3\), \(u_2=2\times3+1=7\), \(u_3=2\times7+1=15\), \(u_4=2\times15+1=31\).
Figure — Nuage de points de la suite récurrente \(u_0=1\), \(u_{n+1}=2u_n+1\)
Chaque terme double presque : la suite croît très rapidement, contrairement à une suite arithmétique (voir chapitre suivant).
Suites arithmétiques : terme général et somme
\((u_n)\) est arithmétique de raison \(r\) si, pour tout \(n\), \(u_{n+1}=u_n+r\) (on ajoute toujours la même quantité). Terme de rang \(p\) :
\[ u_p=u_0+p\,r. \]\((u_n)\) est géométrique de raison \(q\) si, pour tout \(n\), \(u_{n+1}=q\times u_n\) (on multiplie toujours par la même quantité). Terme de rang \(p\) :
\[ u_p=u_0\times q^p. \]Réservé aux abonnés Premium et Élève-Classe.
Voir les offresFigure — Croissance arithmétique et géométrique comparées
Suite arithmétique \(u_0=2\), \(r=3\) (points navy) contre suite géométrique \(v_0=2\), \(q=2\) (points dorés) : même point de départ, croissances très différentes.
Pour une suite arithmétique, la somme des termes de rang \(0\) à \(n\) :
\[ S=u_0+u_1+\cdots+u_n=(n+1)\times\dfrac{u_0+u_n}2. \]Pour une suite géométrique de raison \(q\neq1\) :
\[ S=u_0+u_1+\cdots+u_n=u_0\times\dfrac{q^{n+1}-1}{q-1}. \]Deux cas particuliers très utiles (avec premier terme \(1\)) :
\[ 1+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}2, \qquad 1+a+a^2+\cdots+a^n=\dfrac{a^{n+1}-1}{a-1}. \]Réservé aux abonnés Premium et Élève-Classe.
Voir les offresRésumé
\(u_n=f(n)\), ou récurrence \(u_0\) donné + relation \(u_{n+1}=\ldots\).
Terme \(u_n\), indice/rang \(n\).
Calculer le signe de \(u_{n+1}-u_n\).
Récurrence comme raisonnement, suites majorées/minorées, limite.
Remarque propre au programme du Burkina Faso : vérifie ce point dans ton programme.
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Voir les offresSujet type devoir
Question 1. Soit \(f(x)=2x+1\) et \(u_n=f(n)\) pour tout \(n\in\mathbb N\). Calculer \(u_0\), \(u_1\), \(u_5\).
\(u_0=2\times0+1=1\), \(u_1=3\), \(u_5=2\times5+1=11\).
Question 2. Soit \((u_n)\) définie par \(u_0=2\) et \(u_{n+1}=3u_n-1\). Calculer \(u_1\), \(u_2\), \(u_3\).
\(u_1=3\times2-1=5\), \(u_2=3\times5-1=14\), \(u_3=3\times14-1=41\).
Question 3. Étudier le sens de variation de \(w_n=7-2n\).
\(w_{n+1}-w_n=7-2(n+1)-(7-2n)=-2<0\) : la suite est décroissante.
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