Première L · Leçon 1
Systèmes d’équations et d’inéquations
Exercices corrigés
Situation d'intégration — Répartition d'un troupeau
Exercice 2 — Situation d'intégration
Un éleveur de la province du Sanmatenga possède un troupeau de bovins et de caprins, soit $60$ têtes de bétail au total. Il fait vacciner chaque animal : $8\,000$ FCFA par bovin et $3\,000$ FCFA par caprin. La facture totale du vétérinaire s'élève à $290\,000$ FCFA.
L'éleveur veut connaître la composition exacte de son troupeau pour vérifier que la facture correspond bien à ce qu'il possède réellement, avant de payer.
Consigne : En notant $b$ le nombre de bovins et $c$ le nombre de caprins, mettre la situation en système de deux équations, le résoudre, puis dire à l'éleveur si la facture du vétérinaire est cohérente avec un troupeau de $60$ têtes.
Voir le corrigé
- Mise en système. $\begin{cases}b+c=60\\8000b+3000c=290\,000\end{cases}$, soit après simplification par $1000$ de la seconde ligne : $\begin{cases}b+c=60\\8b+3c=290\end{cases}$.
- Résolution par combinaison. De la première équation, $c=60-b$. En substituant : $8b+3(60-b)=290 \iff 8b+180-3b=290 \iff 5b=110 \iff b=22$.
- On en déduit $c=60-22=38$.
- Vérification et conclusion. $8000(22)+3000(38)=176\,000+114\,000=290\,000$ FCFA ✓, et $22+38=60$ têtes ✓. La facture du vétérinaire est bien cohérente : le troupeau compte $22$ bovins et $38$ caprins.
Un système de trois équations
On considère le système \(\begin{cases}x+y+z=6\\2x-y+z=3\\x+2y-z=2\end{cases}\)
1) Élimine \(x\) des deuxième et troisième équations à l'aide de la première (méthode du pivot de Gauss).
2) Résous le système obtenu, puis donne la solution complète.
Voir le corrigé
1) \(L_2-2L_1\) : \(-3y-z=-9\), soit \(3y+z=9\). \(L_3-L_1\) : \(y-2z=-4\).
2) De \(3y+z=9\), on tire \(z=9-3y\) ; dans \(y-2z=-4\) : \(y-18+6y=-4\), d'où \(7y=14\), \(y=2\), puis \(z=3\) et \(x=6-2-3=1\). Solution : \((1\,;2\,;3)\). Contrôle : \(2-2+3=3\) et \(1+4-3=2\).
Réponse : Système triangulaire \(3y+z=9\), \(y-2z=-4\) ; solution \((x\,;y\,;z)=(1\,;2\,;3)\).
Un problème d'optimisation
Un artisan fabrique des chaises (\(x\) par jour) et des tabourets (\(y\) par jour). Contraintes : \(x+y\le8\) (temps), \(2x+y\le12\) (bois), \(x\ge0\), \(y\ge0\). Une chaise rapporte 300 F de bénéfice, un tabouret 200 F.
1) Représente graphiquement l'ensemble des couples \((x\,;y)\) qui vérifient les contraintes et donne les coordonnées de ses sommets.
2) Calcule le bénéfice \(B=300x+200y\) en chacun des sommets et conclus.