Première L · Leçon 3
Notion de fonction
Exercices corrigés
QCM — Image, antécédent et variation
Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)
1) On considère $f(x)=x^2-4x+1$ définie sur $\mathbb{R}$. $f(3)$ vaut :
a) $-2$ b) $2$ c) $-8$ d) $10$
2) L'image de l'intervalle $[0;4]$ par $f$ est :
a) $[-3;1]$ b) $[-4;1]$ c) $[-3;4]$ d) $[1;4]$
3) $f(-1)$ et $f(1)$ valent respectivement :
a) $6$ et $-2$ b) $-2$ et $6$ c) $6$ et $6$ d) $-2$ et $-2$
4) $f$ est décroissante sur :
a) $]-\infty;2]$ b) $[2;+\infty[$ c) $[0;4]$ d) $\mathbb{R}$
Voir le corrigé
- Réponse : a. $f(3)=9-12+1=-2$.
- Réponse : a. $f(x)=(x-2)^2-3$ : minimum $-3$ en $x=2\in[0;4]$, $f(0)=1$, $f(4)=1$ (maximum). Image $=[-3;1]$.
- Réponse : a. $f(-1)=1+4+1=6$ ; $f(1)=1-4+1=-2$. Comme $f(-1)\ne f(1)$, $f$ n'est pas paire.
- Réponse : a. $f(x)=(x-2)^2-3$ : sommet en $x=2$, décroissante sur $]-\infty;2]$, croissante sur $[2;+\infty[$.
Situation d'intégration — Coopérative de karité
Exercice 2 — Situation d'intégration
Une coopérative de transformation de karité produit des barres de savon. Le coût de production quotidien $C(x)$ (en milliers de francs CFA), pour $x$ centaines de barres produites ($x\in[0;10]$), est modélisé par $C(x)=x^2-6x+50$.
Consigne : 1) Montrer, en comparant directement $C(a)$ et $C(b)$, que $C$ est décroissante sur $[0;3]$. 2) Calculer le coût minimal, atteint en $x=3$. 3) Déterminer l'image de l'intervalle $[0;6]$ par $C$, et interpréter en termes de coût minimal et maximal sur cette plage de production.
Voir le corrigé
- Soit $0\le a\le b\le3$. $C(a)-C(b)=(a-b)(a+b-6)$. Or $a-b\le0$ et $a+b\le6$ donc $a+b-6\le0$ : produit de deux facteurs négatifs $\ge0$, donc $C(a)\ge C(b)$ : $C$ est décroissante sur $[0;3]$.
- $C(3)=9-18+50=41$ (milliers de FCFA), soit $41\,000$ FCFA pour $300$ barres.
- $C(0)=50$, $C(6)=36-36+50=50$. Décroissante sur $[0;3]$ puis croissante sur $[3;6]$ : image $=[41;50]$. Sur une production quotidienne entre $0$ et $600$ barres, le coût varie entre $41\,000$ et $50\,000$ FCFA, avec un minimum atteint pour $300$ barres.
Exercice supplémentaire — Coût de production
Exercice supplémentaire. Une unité de transformation de riz a un coût de production quotidien (en milliers de FCFA) modélisé par $C(x)=x^2-8x+20$ pour $x\in[0;8]$ ($x$ en tonnes traitées).
1) Montrer, en comparant directement $C(a)$ et $C(b)$, que $C$ est décroissante sur $[0;4]$ puis croissante sur $[4;8]$.
2) Calculer le coût minimal.
3) Déterminer l'image de $[0;8]$ par $C$ et interpréter.
Problème — Trajectoire d'un jet d'eau
Problème. Lors d'une démonstration scientifique dans un lycée, un professeur modélise la trajectoire d'un jet d'eau lancé par une pompe manuelle par la fonction $h(x)=-x^2+6x-5$, où $x$ est la distance horizontale (en mètres) et $h(x)$ la hauteur du jet (en mètres), pour $x\in[1;5]$.
1) Calculer $h(1)$, $h(3)$ et $h(5)$.
2) Montrer, en comparant directement $h(a)$ et $h(b)$, que $h$ est croissante sur $[1;3]$ puis décroissante sur $[3;5]$.
3) En déduire l'image de l'intervalle $[1;5]$ par $h$, et interpréter en termes de hauteur du jet.
4) Le domaine de définition $[1;5]$ est-il symétrique par rapport à $0$ ? $h$ peut-elle être qualifiée de paire ou impaire sur ce domaine ? Justifier.