Première L · Leçon 7
Fonctions polynômes
Exercices corrigés
Second et troisième degré
1) Étudie les variations de \(f(x)=-x^2+6x-5\) ; donne son maximum et les points où sa courbe coupe l'axe des abscisses.
2) Soit \(g(x)=x^3-12x\). Montre que \(g\) est impaire, calcule \(g'(x)\), dresse le tableau de variations et donne les extremums locaux.
Voir le corrigé
1) \(f'(x)=-2x+6\), positif pour \(x\lt3\), négatif pour \(x\gt3\) : \(f\) croît puis décroît, maximum \(f(3)=4\). \(f(x)=-(x-1)(x-5)\) s'annule en 1 et 5.
2) \(g(-x)=-x^3+12x=-g(x)\) : \(g\) est impaire. \(g'(x)=3x^2-12=3(x-2)(x+2)\) : \(g\) croît sur \(]-\infty\,;-2]\), décroît sur \([-2\,;2]\), croît sur \([2\,;+\infty[\). Maximum local \(g(-2)=16\), minimum local \(g(2)=-16\).
Réponse : \(f\) : maximum 4 en 3, racines 1 et 5 ; \(g\) impaire, maximum local 16 en \(-2\), minimum local \(-16\) en 2.
Une fonction bicarrée
Soit \(h(x)=x^4-5x^2+4\).
1) Résous l'équation \(h(x)=0\) en posant \(X=x^2\).
2) Montre que \(h\) est paire et calcule \(h'(x)\) ; donne les abscisses où \(h'\) s'annule.
Voir le corrigé
1) \(X^2-5X+4=0\) a pour solutions \(X=1\) et \(X=4\). Donc \(x^2=1\) ou \(x^2=4\) : les solutions sont \(-2\), \(-1\), 1 et 2.
2) \(h(-x)=h(x)\) car seules des puissances paires apparaissent. \(h'(x)=4x^3-10x=2x(2x^2-5)\), qui s'annule en 0, \(\sqrt{\frac52}\) et \(-\sqrt{\frac52}\).
Réponse : Solutions \(-2\), \(-1\), 1, 2 ; \(h\) paire ; \(h'\) s'annule en 0 et \(\pm\sqrt{5/2}\).