Première L · Leçon 8
Fonctions homographiques
Exercices corrigés
Problème — Asymptotes et étude graphique
Problème.
Partie A. Soit $m(x)=\dfrac{4x-5}{x+1}$.
1) Écrire $m(x)$ sous la forme $a+\dfrac{b}{x+1}$.
2) Déterminer les limites de $m$ en $+\infty$ et en $-\infty$, puis en déduire une asymptote.
3) Déterminer les limites de $m$ en $(-1)^-$ et en $(-1)^+$, puis en déduire une seconde asymptote.
Partie B. Soit $t(x)=-(x+3)^2+5$.
4) Donner le tableau de variations de $t$ et les coordonnées du sommet de sa courbe.
5) Résoudre l'équation $t(x)=0$.
Voir le corrigé
- $4x-5=4(x+1)-9$, donc $m(x)=4-\dfrac9{x+1}$ : $a=4$, $b=-9$.
- Quand $x\to\pm\infty$, $\dfrac9{x+1}\to0$, donc $m(x)\to4$ dans les deux cas : la droite $y=4$ est asymptote horizontale.
- Quand $x\to(-1)^+$, $x+1\to0^+$ donc $-\dfrac9{x+1}\to-\infty$ : $m(x)\to-\infty$. Quand $x\to(-1)^-$, $x+1\to0^-$ donc $-\dfrac9{x+1}\to+\infty$ : $m(x)\to+\infty$. La droite $x=-1$ est asymptote verticale.
- $t(x)=-(x+3)^2+5$ est de la forme $-(x-a)^2+k$ avec $a=-3$, $k=5$ : maximum $t(-3)=5$. $t$ est croissante sur $]-\infty;-3]$, décroissante sur $[-3;+\infty[$.
- $-(x+3)^2+5=0\iff(x+3)^2=5\iff x+3=\pm\sqrt5\iff x=-3\pm\sqrt5$.
Une fonction homographique
Soit \(f(x)=\dfrac{2x-1}{x+1}\).
1) Donne l'ensemble de définition de \(f\) et montre que \(f(x)=2-\dfrac{3}{x+1}\).
2) Donne les asymptotes de la courbe, leur point d'intersection \(\Omega\), et vérifie que \(\Omega\) est centre de symétrie.
3) Calcule \(f(0)\) et résous \(f(x)=0\).
La fonction k/x
Soit \(g(x)=\dfrac6x\) pour \(x\neq0\).
1) Calcule \(g(2)\), \(g(3)\), \(g(-3)\) et montre que \(g\) est impaire.
2) Donne le sens de variation de \(g\) sur \(]0\,;+\infty[\) et ses asymptotes.
Voir le corrigé
1) \(g(2)=3\), \(g(3)=2\), \(g(-3)=-2\). Pour \(x\neq0\), \(g(-x)=-\dfrac6x=-g(x)\) : \(g\) est impaire, sa courbe est symétrique par rapport à l'origine.
2) \(g'(x)=-\dfrac{6}{x^2}\lt0\) : \(g\) est décroissante sur \(]0\,;+\infty[\) (et sur \(]-\infty\,;0[\)). Les axes sont asymptotes : \(x=0\) et \(y=0\).
Réponse : \(g(2)=3\), \(g(3)=2\), \(g(-3)=-2\) ; impaire ; décroissante sur chaque intervalle ; asymptotes les axes.