Première L · Leçon 9
Deux fonctions réciproques : x² et √x
Exercices corrigés
Carré et racine carrée
On note \(f(x)=x^2\) sur \([0\,;+\infty[\) et \(g(x)=\sqrt x\).
1) Calcule \(g(f(3))\), \(f(g(9))\) et \(g(2{,}25)\). Que remarques-tu ?
2) Le point \((2\,;4)\) est sur la courbe de \(f\). Quel point de la courbe de \(g\) lui correspond ? Explique la symétrie des deux courbes.
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1) \(g(f(3))=\sqrt9=3\), \(f(g(9))=3^2=9\), \(g(2{,}25)=1{,}5\). Chaque fonction défait ce que fait l'autre (pour des nombres positifs) : ce sont deux fonctions réciproques.
2) \(f(2)=4\) donne \(g(4)=2\) : le point \((4\,;2)\). On passe de \((a\,;b)\) à \((b\,;a)\) en échangeant les coordonnées, c'est-à-dire par la symétrie par rapport à la droite \(y=x\) dans un repère orthonormal.
Réponse : \(g(f(3))=3\), \(f(g(9))=9\), \(g(2{,}25)=1{,}5\) ; au point \((2\,;4)\) correspond \((4\,;2)\), symétrique par rapport à \(y=x\).
Comparer x, x² et √x
1) Pour \(x=0{,}5\), calcule \(x^2\) et \(\sqrt x\), puis range \(x\), \(x^2\) et \(\sqrt x\) dans l'ordre croissant.
2) Fais de même pour \(x=4\). Énonce une règle pour \(0\lt x\lt1\) et pour \(x\gt1\).
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1) \(0{,}5^2=0{,}25\) et \(\sqrt{0{,}5}\approx0{,}71\) : \(x^2\lt x\lt\sqrt x\).
2) \(4^2=16\) et \(\sqrt4=2\) : \(\sqrt x\lt x\lt x^2\). Pour \(0\lt x\lt1\) : \(x^2\lt x\lt\sqrt x\) ; pour \(x\gt1\) : \(\sqrt x\lt x\lt x^2\) ; les trois sont égaux pour \(x=1\).
Réponse : Pour 0,5 : \(0{,}25\lt0{,}5\lt0{,}71\) ; pour 4 : \(2\lt4\lt16\) ; l'ordre s'inverse de part et d'autre de 1.