Dérivabilité

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) La dérivée de $f(x)=x^4$ est :
a) $4x^3$   b) $x^3$   c) $4x^4$   d) $3x^3$

2) Soit $g(x)=\dfrac1x$. $g'(2)$ vaut :
a) $-\dfrac14$   b) $\dfrac14$   c) $-2$   d) $2$

3) Soit $h(x)=\sqrt x$. $h'(9)$ vaut :
a) $\dfrac16$   b) $\dfrac13$   c) $3$   d) $\dfrac1{18}$

4) Sachant $f(2)=5$ et $f'(2)=-3$, l'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse 2 est :
a) $y=-3x+11$   b) $y=5x-3$   c) $y=-3x+5$   d) $y=2x-3$

Exercice 2 — Situation d'intégration

Une petite entreprise fabrique des vélos. Son bénéfice journalier, en milliers de FCFA, pour $x$ vélos produits ($x\in[0;12]$), est modélisé par $B(x)=-\dfrac12x^2+6x-10$. Le directeur veut savoir, pour une production actuelle de $x=4$ vélos, si le bénéfice progresse encore ou commence déjà à ralentir, afin de décider s'il est pertinent d'augmenter légèrement la production.

Consigne : Calculer $B'(x)$, puis $B'(4)$, interpréter le signe du résultat pour conseiller le directeur, et donner l'équation de la tangente à la courbe de $B$ au point d'abscisse 4.

Problème.

Partie A. Soit $p(x)=x^3-3x$.
1) Calculer $p'(x)$.
2) Calculer $p'(0)$, $p'(1)$ et $p'(-1)$.
3) Donner l'équation de la tangente à la courbe de $p$ au point d'abscisse 0.

Partie B. Soit $q(x)=\dfrac{x+1}{x-3}$, définie pour $x\neq3$.
4) Calculer $q'(x)$ à l'aide de la règle du quotient.
5) Calculer $q'(1)$ et en déduire le sens de variation de $q$ sur $]-\infty;3[$.