Première L · Leçon 12
Dénombrement
Exercices corrigés
QCM — Arrangements et permutations
Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)
1) Le nombre de façons de ranger 6 objets distincts en ligne est :
a) 36 b) 120 c) 720 d) 46656
2) $A_7^2$ vaut :
a) 42 b) 49 c) 21 d) 14
3) Un jury distingue, dans l'ordre, un 1er, un 2e et un 3e prix parmi 9 candidats. Le nombre de podiums possibles est :
a) 504 b) 729 c) 84 d) 27
4) Le mot-clé qui signale un arrangement (et non une combinaison) est :
a) l'ordre ne compte pas b) les rôles ou rangs sont distincts c) répétition autorisée d) aucun ordre
Voir le corrigé
- Réponse : c. $6!=6\times5\times4\times3\times2\times1=720$.
- Réponse : a. $A_7^2=7\times6=42$.
- Réponse : a. $A_9^3=9\times8\times7=504$.
- Réponse : b. Quand les rôles ou les rangs sont distincts, échanger deux éléments change le résultat : l'ordre compte, c'est un arrangement.
QCM — Combinaisons et binôme
Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)
1) $\binom93$ vaut :
a) 84 b) 504 c) 27 d) 729
2) D'après la relation $\binom np=\binom n{n-p}$, $\binom{10}4$ est égal à :
a) $\binom{10}4$ b) $\binom{10}5$ c) $\binom{10}6$ d) $\binom{10}{10}$
3) En développant $(x+2)^3$ à l'aide du triangle de Pascal, le coefficient du terme en $x$ (c'est-à-dire de $x^1$) est :
a) 3 b) 6 c) 8 d) 12
4) $\binom52+\binom53$ vaut :
a) 15 b) 20 c) 25 d) 30
Voir le corrigé
- Réponse : a. $\binom93=\dfrac{9\times8\times7}{3\times2\times1}=\dfrac{504}6=84$.
- Réponse : c. $\binom{10}4=\binom{10}{10-4}=\binom{10}6$.
- Réponse : d. Ligne $n=3$ du triangle : $1,3,3,1$. $(x+2)^3=x^3+3x^2(2)+3x(2)^2+2^3=x^3+6x^2+12x+8$ : le coefficient de $x$ est $12$.
- Réponse : b. $\binom52=10$, $\binom53=10$, somme $=20$ (cohérent avec $\binom63=20$ par la relation de Pascal).
Situation d’intégration — Radio culturelle
Exercice 2 — Situation d'intégration
Une radio prépare la diffusion d'un compte à rebours musical pour un festival culturel : elle doit choisir, dans l'ordre exact de diffusion, 5 chansons parmi une playlist de 12 morceaux traditionnels déjà sélectionnés. Le producteur hésite entre programmer l'ordre manuellement ou investir dans un logiciel d'aide à la programmation — il estime qu'au-delà de 500 ordres possibles, la programmation manuelle est trop risquée pour trouver le meilleur enchaînement.
Consigne : Calculer le nombre d'ordres de diffusion possibles pour les 5 chansons choisies parmi les 12, puis conseiller le producteur : doit-il investir dans le logiciel ?
Situation d’intégration — Coopérative de karité
Exercice 2 — Situation d'intégration
Une coopérative de femmes, spécialisée dans la transformation du beurre de karité, compte 12 membres formées à la présentation de leurs produits. Pour une foire régionale, elle doit désigner une délégation de 3 membres (aucun rôle particulier n'est attribué : la délégation est un simple groupe).
Consigne : Calculer le nombre de délégations possibles, puis vérifier ce résultat à l'aide de la relation de Pascal $\binom np=\binom{n-1}{p-1}+\binom{n-1}p$.
Problème — Codes, digicode et parties
Problème — Codes, digicode et parties d'un ensemble.
Partie A. Un cadenas de vélo utilise un code à $4$ chiffres choisis parmi $\{0,1,\dots,9\}$, les répétitions étant autorisées. 1) Combien de codes différents existe-t-il au total ? 2) Combien de ces codes ont leurs $4$ chiffres deux à deux distincts ?
Partie B. Le digicode d'un immeuble utilise un code de $3$ caractères, chacun choisi parmi les $10$ chiffres et les $26$ lettres de l'alphabet ($36$ symboles au total), répétitions autorisées. Combien de codes différents sont possibles ?
Partie C. Un technicien dispose d'un ensemble $E$ de $8$ clés USB numérotées. Il doit constituer un lot à prêter à un collègue (n'importe quel sous-ensemble de $E$, y compris ne rien prêter ou tout prêter). Combien de lots différents peut-il constituer ?
Problème — Ordre de passage à un examen oral
Problème — $8$ candidats passent un examen oral et sont reçus un par un dans une salle.
Partie A. De combien de façons peut-on établir l'ordre de passage des $8$ candidats ?
Partie B. Parmi ces $8$ candidats, $3$ sont désignés pour représenter leur promotion lors d'une cérémonie officielle, où ils occuperont $3$ sièges numérotés distincts sur l'estrade (siège 1, siège 2, siège 3). Combien de façons y a-t-il de choisir puis de placer ces $3$ candidats sur les $3$ sièges ?
Partie C. Les $5$ candidats restants doivent également être reçus en entretien individuel, dans un ordre précis établi par le jury. Combien d'ordres de passage différents sont possibles pour ces $5$ candidats ?
Problème — Bureau du comité des élèves
Problème. Un comité de 10 élèves doit élire un bureau composé de trois rôles distincts : un président, un vice-président et un secrétaire.
Partie A.
1) Combien de bureaux différents (président, vice-président, secrétaire) sont possibles au total ?
Partie B. Parmi les 10 élèves, 4 sont en Terminale D et 6 sont en Terminale C. Le règlement impose que le président soit obligatoirement en Terminale D (les deux autres rôles restant ouverts à n'importe lequel des 9 élèves restants, tous niveaux confondus).
2) Combien de bureaux respectant cette contrainte sont possibles ?
Partie C.
3) Pour la photo de fin d'année, les 10 élèves du comité sont alignés côte à côte. Combien de dispositions différentes sont possibles ?
Problème — Développement et comité mixte
Problème.
Partie A.
1) Développer $(2x-1)^4$ à l'aide du triangle de Pascal (ligne $n=4$).
Partie B. Une coopérative de 15 membres, dont 6 femmes et 9 hommes, doit former un comité de gestion de 4 personnes.
2) Combien de comités de 4 personnes sont possibles au total (sans contrainte) ?
3) Combien de ces comités comptent exactement 2 femmes et 2 hommes ?