Terminale D · Leçon 11
Variables aléatoires
Exercices corrigés
Variable aléatoire discrète — espérance et variance
Exercice 5 — Jeu de dés
On lance deux dés équilibrés. Soit $X$ = valeur absolue de la différence des faces.
1. Dresser le tableau de la loi de $X$ (valeurs de 0 à 5).
2. Calculer $E(X)$ et $V(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$.
3. Le jeu est-il équitable si on gagne $X$ FCFA par lancé et qu'on paye 2 FCFA pour jouer ?
Voir le corrigé
- $|\Omega|=36$. Nombre de façons d'obtenir chaque différence :
$X=0$ : 6 cas · $X=1$ : 10 cas · $X=2$ : 8 cas · $X=3$ : 6 cas · $X=4$ : 4 cas · $X=5$ : 2 cas.
$$P(X=k)=\frac{2(6-k)}{36}=\frac{6-k}{18}\text{ pour }k=0,\ldots,5$$ - $E(X)=0\cdot\frac{6}{36}+1\cdot\frac{10}{36}+2\cdot\frac{8}{36}+3\cdot\frac{6}{36}+4\cdot\frac{4}{36}+5\cdot\frac{2}{36}=\frac{70}{36}\approx\boxed{1{,}94}$
$E(X^2)=\frac{0+10+32+54+64+50}{36}=\frac{210}{36}\approx5{,}83$ · $V(X)\approx5{,}83-1{,}94^2\approx\boxed{2{,}07}$ - Gain net $= X-2$. $E(\text{gain})=E(X)-2\approx1{,}94-2=-0{,}06<0$ → le jeu est défavorable au joueur.
Loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$ — calculs et graphique
Exercice 6 — Loi binomiale
$X\sim\mathcal{B}(n,p)$ : $P(X=k)=\dbinom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$ · $E(X)=np$ · $V(X)=np(1-p)$
Un examen a 10 QCM avec 4 choix dont 1 seul correct. Un élève répond au hasard.
1. Loi de $X$ = nombre de bonnes réponses. 2. $P(X=3)$. 3. $P(X\geq6)$. 4. $E(X)$ et $V(X)$. 5. Tracer la loi.
Voir le corrigé
- Loi de $X$
Chaque QCM a 4 choix dont 1 seul correct → $p = \dfrac{1}{4} = 0{,}25$ · $n=10$
Les réponses sont indépendantes et $p$ est constante : $X \sim \mathcal{B}(10\,;\,0{,}25)$
$$P(X=k) = \binom{10}{k}(0{,}25)^k(0{,}75)^{10-k}, \quad k=0,1,\ldots,10$$ - $P(X=3)$
$P(X=3) = \dbinom{10}{3}(0{,}25)^3(0{,}75)^7 = 120 \times 0{,}015625 \times 0{,}1335$
$\approx 120 \times 0{,}002086 \approx \boxed{0{,}2503}$
C'est la valeur la plus probable (mode) de la loi. - $P(X \geq 6)$
$P(X \geq 6) = \displaystyle\sum_{k=6}^{10}\binom{10}{k}(0{,}25)^k(0{,}75)^{10-k}$
Calcul terme à terme :
$P(X=6)\approx 0{,}01622$ · $P(X=7)\approx 0{,}00309$ · $P(X=8)\approx 0{,}000386$
$P(X=9)\approx 0{,}0000286$ · $P(X=10)\approx 9{,}5\times10^{-7}$
$P(X \geq 6) \approx \boxed{0{,}0197}$ soit environ 2% de chance d'avoir 6 bonnes réponses ou plus en répondant au hasard. - $E(X)$ et $V(X)$
$E(X) = np = 10 \times 0{,}25 = \boxed{2{,}5}$ bonnes réponses en moyenne
$V(X) = np(1-p) = 10 \times 0{,}25 \times 0{,}75 = \boxed{1{,}875}$
$\sigma(X) = \sqrt{1{,}875} \approx 1{,}37$ - Diagramme en bâtons de la loi $\mathcal{B}(10\,;\,0{,}25)$
Le mode est en $k=2$ (valeur la plus probable), $E(X)=2{,}5$ matérialisé par la ligne rouge.
Loi des grands nombres — fréquences et convergence
Exercice 7 — Loi des grands nombres
On lance une pièce équilibrée $n$ fois. Soit $f_n$ la fréquence d'apparition de Face.
1. Quelle est la loi de $X$ = nombre de Face en $n$ lancers ?
2. $E(f_n)$ et $V(f_n)$.
3. Inégalité de Bienaymé-Tchebychev : $P(|f_n-0{,}5|\geq\varepsilon)\leq\dfrac{1}{4n\varepsilon^2}$. Pour $\varepsilon=0{,}05$, quelle valeur minimale de $n$ assure $P(|f_n-0{,}5|\geq0{,}05)\leq0{,}01$ ?
Loi normale $\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ — théorème central limite
Exercice 8 — Loi normale et intervalle de confiance
Les notes au Bac d'une grande ville suivent une loi normale $\mathcal{N}(11,2{,}5^2)$.
1. Courbe de densité. Interprétation de $\mu=11$ et $\sigma=2{,}5$.
2. Calculer $P(8{,}5\leq X\leq13{,}5)$ (règle des 68%). Interpréter.
3. Quelle fraction d'élèves a une note entre 6 et 16 (règle des 95%) ?
4. Théorème central limite : si on prend un échantillon de $n=100$ élèves, quelle est la loi approchée de $\bar{X}$ ?
5. Intervalle de confiance à 95% pour $\mu$.
Entraînement illimité
Un nouvel exercice à chaque essai, avec de nouvelles valeurs et son corrigé.