Terminale D · Leçon 3
Suites numériques
Ce que dit le programme officiel (18 points)
- Raisonnement par récurrence
- Utiliser le raisonnement par récurrence pour établir certaines propriétés
- Convergence d’une suite
- Propriétés de convergence des suites
- Suites divergentes
- Démontrer qu’une suite est convergente
- Utiliser la propriété : toute suite croissante (resp. décroissante) et majorée (resp. minorée) est convergente
- Utiliser la propriété : si uₙ₊₁ = f(uₙ), (uₙ) convergente de limite l et f continue en l alors f(l) = l
- Exemples de suites de la forme uₙ = aⁿ, uₙ = n^α, uₙ₊₁ = f(uₙ) et uₙ₊₁ = a uₙ + b uₙ₋₁ (α, a et b réels)
- Théorèmes de comparaison des suites (admis). Si, à partir d’un certain rang : uₙ ≤ vₙ et lim uₙ = + ∞, alors lim vₙ = + ∞ ; |vₙ – L| ≤ uₙ et lim uₙ = 0, alors lim vₙ = L ; uₙ ≤ vₙ, lim uₙ = L et lim vₙ = L’, alors L ≤ L’ ; uₙ ≤ vₙ ≤ wₙ et lim uₙ = lim wₙ = L, alors lim vₙ = L
- Théorème de comparaison : uₙ comparée à vₙ et limite de uₙ égale à + ∞, alors limite de vₙ égale à + ∞
- Théorème de comparaison : |vₙ – L| comparée à uₙ et limite de uₙ égale à 0, alors limite de vₙ égale à L
- Théorème de comparaison : uₙ comparée à vₙ, limite de uₙ égale à L et limite de vₙ égale à L’, alors L comparée à L’
- Théorème de comparaison : vₙ encadrée par uₙ et wₙ, limites de uₙ et de wₙ égales à L, alors limite de vₙ égale à L
- Utiliser les théorèmes de comparaison lors de la résolution des problèmes
- Limite : ces propriétés sont admises
- Limite : les suites arithmétiques et géométriques ne sont pas reprises mais sont utilisées au cours des différentes activités
- Limite : pour étudier la convergence d’une suite de la forme uₙ₊₁ = a uₙ + b avec a ≠ 1, on étudie la suite auxiliaire vₙ = uₙ – b/(1 – a)
Source : Programme de mathématiques, classe de Terminale D, ministère des Enseignements secondaires (Niger)
Raisonnement par récurrence
Méthode pour démontrer qu'une propriété \(\mathcal{P}(n)\) est vraie pour tout entier \(n\geq n_0\)
- Initialisation : vérifier que \(\mathcal{P}(n_0)\) est vraie.
- Hérédité : supposer \(\mathcal{P}(n)\) vraie pour un certain \(n\geq n_0\) (hypothèse de récurrence), puis démontrer \(\mathcal{P}(n+1)\) en utilisant cette hypothèse.
- Conclusion : "D'après le principe de récurrence, \(\mathcal{P}(n)\) est vraie pour tout \(n\geq n_0\)."
- Oublier l'initialisation — démonstration incomplète, note = 0
- Ne pas utiliser l'hypothèse de récurrence — écrire explicitement "par hypothèse de récurrence, \(u_n=\ldots\)" avant de l'utiliser
- Omettre la conclusion globale — phrase finale indispensable pour le correcteur
Démontrons que pour tout \(n\geq 1\) : \(\displaystyle 1+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}\)
Init. : Pour \(n=1\) : \(1=\frac{1\times 2}{2}=1\). Vrai.
Hér. : Supposons \(1+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}\). Alors :
\[1+\cdots+n+(n+1)=\frac{n(n+1)}{2}+(n+1)=\frac{(n+1)(n+2)}{2}\]
Correspond à la formule au rang \(n+1\). Vrai.
Concl. : Par récurrence, \(1+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}\) pour tout \(n\geq 1\).
Suite : \(u_0=1\), \(u_{n+1}=3u_n+2\). Montrons que \(u_n=2\times 3^n-1\).
Init. : \(u_0=1\) et \(2\times 3^0-1=1\). Vrai.
Hér. : Supposons \(u_n=2\times 3^n-1\). Alors :
\[u_{n+1}=3(2\times 3^n-1)+2=6\times 3^n-1=2\times 3^{n+1}-1\]
Correspond à la formule au rang \(n+1\). Vrai.
Concl. : Par récurrence, \(u_n=2\times 3^n-1\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
Sur la copie, écrire "par H.R." ou "par hypothèse de récurrence" au-dessus du signe "=" au moment où vous l'utilisez. Le correcteur doit voir clairement ce moment-clé.
Limite d'une suite, convergence, limites usuelles
\(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=\ell\) : la suite est convergente. Elle peut diverger sans avoir de limite : \(u_n=(-1)^n\) oscille entre −1 et 1.
| Suite \(u_n\) | Limite en \(+\infty\) |
|---|---|
| \(\dfrac{1}{n^p}\) (\(p>0\)) | 0 |
| \(n^p\) (\(p>0\)) | \(+\infty\) |
| \(q^n\) si \(|q|<1\) | 0 |
| \(q^n\) si \(q>1\) | \(+\infty\) |
| \(q^n\) si \(q=1\) | 1 |
| \(q^n\) si \(q\leq-1\) | Pas de limite |
Si \(|q|<1\) alors \(q^n\to 0\). Exemples : \(\left(\frac{1}{2}\right)^n\to 0\), \((0{,}9)^n\to 0\), \((-0{,}3)^n\to 0\). Si \(|q|>1\) la suite diverge.
Les formes \(+\infty-\infty\), \(0\times\infty\), \(\frac{\infty}{\infty}\), \(\frac{0}{0}\) ne peuvent pas être calculées directement.
Exemple : \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{3n^2+2n-1}{5n^2-4}=\lim\frac{n^2(3+\frac{2}{n}-\frac{1}{n^2})}{n^2(5-\frac{4}{n^2})}=\frac{3}{5}\)
Théorèmes de convergence : monotone bornée, gendarmes, suites adjacentes
- Toute suite croissante et majorée converge
- Toute suite décroissante et minorée converge
Si \(u_n\leq v_n\leq w_n\) et \(\lim u_n=\lim w_n=\ell\), alors \(\lim v_n=\ell\).
Exemple : \(-\dfrac{1}{n}\leq\dfrac{\sin n}{n}\leq\dfrac{1}{n}\) et les extrêmes → 0, donc \(\displaystyle\lim\frac{\sin n}{n}=0\).
Deux suites \((u_n)\) et \((v_n)\) sont adjacentes si : \((u_n)\) croissante, \((v_n)\) décroissante, \(\lim(v_n-u_n)=0\). Elles convergent alors vers la même limite \(\ell\) avec \(u_n\leq\ell\leq v_n\).
Quand une suite récurrente \(u_{n+1}=f(u_n)\) converge vers \(\ell\), alors \(\ell=f(\ell)\) : la limite est le point fixe de la relation.
Suites récurrentes uₙ₊₁ = f(uₙ) et point fixe
Si la suite \((u_n)\) définie par \(u_{n+1} = f(u_n)\) converge vers un réel \(\ell\) et si \(f\) est continue en \(\ell\), alors \(\ell\) est un point fixe de \(f\) : \[ f(\ell) = \ell. \] La démarche est donc : montrer que la suite converge (théorème de la limite monotone), puis résoudre \(f(x) = x\) dans l'intervalle stable pour identifier la limite.
- Trouver un intervalle stable \(I\) : montrer que si \(u_n \in I\) alors \(f(u_n) \in I\).
- Montrer par récurrence que \(u_n \in I\) : initialisation, hérédité via la stabilité.
- Étudier la monotonie : souvent via le signe de \(f(x) - x\) sur \(I\).
- Conclure : croissante bornée supérieurement → convergence.
- Identifier \(\ell\) : résoudre \(f(x) = x\) dans \(I\).
Si \(f\) est dérivable sur un intervalle stable \(I\) et si \(|f'(x)| \le k < 1\) pour tout \(x \in I\), alors : \[ |u_{n+1} - \ell| = |f(u_n) - f(\ell)| \le k\,|u_n - \ell|, \qquad |u_n - \ell| \le k^n \,|u_0 - \ell| \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0. \] Cette méthode prouve simultanément la convergence et une vitesse de convergence.
On pose \(f(x) = \dfrac{x}{2} + 2\).
Point fixe : \(f(\ell) = \ell \iff \dfrac{\ell}{2} + 2 = \ell \iff \ell = 4\).
Intervalle stable : si \(x \in [0\,;\,4]\), alors \(f(x) \in [2\,;\,4] \subset [0\,;\,4]\).
Monotonie : \(u_{n+1} - u_n = 2 - \dfrac{u_n}{2} \ge 0\) car \(u_n \le 4\) → suite croissante.
Convergence : croissante et majorée par 4 → converge. Par continuité de \(f\), la limite vérifie \(f(\ell) = \ell\), d'où \(\ell = 4\).
Via l'IAF : \(f'(x) = \dfrac{1}{2}\) sur \(\mathbb{R}\), donc \(|u_n - 4| \le \left(\dfrac{1}{2}\right)^n |u_0 - 4| = \dfrac{4}{2^n} \to 0\).
Toile d'araignée — \(u_{n+1} = f(u_n)\), \(f(x) = ax + b\)
\(y = x\)
toile \(u_0, u_1, \ldots\)
point fixe \(\ell\)
Ajustez les paramètres pour visualiser la convergence ou la divergence
La toile d'araignée permet de prévoir graphiquement le comportement de la suite. Depuis \((u_0, 0)\), on monte jusqu'à la courbe de \(f\), puis horizontalement jusqu'à la droite \(y = x\), et ainsi de suite. Si \(|a| < 1\), la suite converge vers le point fixe \(\ell = b/(1-a)\).
Résoudre \(f(x) = x\) sans avoir préalablement prouvé la convergence est sans valeur. Si la suite diverge, un point fixe peut exister sans que la suite ne le rejoigne. On doit d'abord établir la convergence, puis identifier la limite.
Suites géométriques : terme général et somme
\((u_n)\) est géométrique de raison \(q\neq 0\) si \(u_{n+1}=q\cdot u_n\), soit \(q=\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\text{constante}\).
\[u_n=u_0\times q^n \qquad\text{ou}\qquad u_n=u_p\times q^{n-p}\]
Somme de \(u_0\) à \(u_n\) (si \(q\neq 1\)) :
\[S_n=u_0\times\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\]
Si \(q=1\) : \(S_n=(n+1)\,u_0\)
\(u_0=2\), \(q=3\) → \(u_n=2\times 3^n\) → \(u_5=486\).
Somme : \(S_5=2\times\dfrac{1-3^6}{1-3}=2\times\dfrac{-728}{-2}=\mathbf{728}\)
\(\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}\) est invalide pour \(q=1\) (division par zéro). Dans ce cas utiliser \(S_n=(n+1)\,u_0\).
- Arithmétique \(\Leftrightarrow\) \(u_n=\dfrac{u_{n-1}+u_{n+1}}{2}\)
- Géométrique \(\Leftrightarrow\) \(u_n^2=u_{n-1}\times u_{n+1}\)
Figure interactive — Arithmétique vs Géométrique
Comparez la croissance linéaire (arithmétique, bleu) et la croissance exponentielle (géométrique, or). Pour |q|<1 la suite géométrique tend vers 0.
Suites arithmétiques : terme général et somme
\((u_n)\) est arithmétique de raison \(r\) si \(u_{n+1}=u_n+r\), soit \(r=u_{n+1}-u_n=\text{constante}\).
\[u_n=u_0+n\cdot r \qquad\text{ou}\qquad u_n=u_p+(n-p)\cdot r\]
Sens : \(r>0\) → croissante · \(r<0\) → décroissante · \(r=0\) → constante
Somme de \(u_0\) à \(u_n\) (\(n+1\) termes) :
\[S_n=(n+1)\times\frac{u_0+u_n}{2}=(n+1)\times\frac{\text{premier}+\text{dernier}}{2}\]
\(u_0=3\), \(r=5\) → \(u_n=3+5n\) → \(u_{10}=53\).
Somme des 11 premiers termes : \(S_{10}=11\times\dfrac{3+53}{2}=11\times 28=\mathbf{308}\)
Gauss : \(1+2+\cdots+100=100\times\dfrac{1+100}{2}=\mathbf{5050}\)
Nombre de termes × moyenne des extrêmes. Pour compter les termes entre \(u_p\) et \(u_q\) inclus : \(q-p+1\) termes.
La somme \(S_n=u_0+u_1+\cdots+u_n\) contient \((n+1)\) termes, pas \(n\). Cette erreur de décalage d'indice est systématiquement sanctionnée.
Résumé
\(u_{n+1}=u_n+r\) · \(u_n=u_0+nr\) · \(S_n=(n+1)\frac{u_0+u_n}{2}\)
\(u_{n+1}=qu_n\) · \(u_n=u_0q^n\) · \(S_n=u_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\)
Point fixe \(\ell=\frac{c}{1-b}\) · \(v_n=u_n-\ell\) géométrique · \(u_n=(u_0-\ell)b^n+\ell\)
Croissante + majorée → converge · Décroissante + minorée → converge · Limite = point fixe
\(|q|<1\Rightarrow q^n\to 0\) · \(q>1\Rightarrow q^n\to+\infty\) · \(q\leq-1\) → pas de limite
1. Initialisation · 2. Hérédité (avec H.R. explicite) · 3. Conclusion globale
Initialisation + hérédité dans cet ordre. On suppose \(P(n)\) et on déduit \(P(n+1)\), jamais l'inverse.
Signe de \(u_{n+1} - u_n\), quotient si \(u_n > 0\), variations de \(f\) si explicite, récurrence si récurrente.
Croissante majorée ou décroissante minorée → convergence (admis). Gendarmes : deux suites encadrantes de même limite.
Transférer les limites de fonctions. Croissances comparées : \(\ln n \ll n^\alpha \ll a^n \ll n!\).
Si \((u_n)\) converge et \(f\) est continue en \(\ell\), alors \(f(\ell) = \ell\). Méthode en 5 étapes.
Si \(|f'| \le k < 1\) sur l'intervalle stable : \(|u_n - \ell| \le k^n |u_0 - \ell| \to 0\).
Sujet type Bac
Énoncé : Soit \((u_n)\) définie par \(\begin{cases}u_0=4\\u_{n+1}=\dfrac{1}{3}u_n+2\end{cases}\).
A. Premiers termes : \(u_1=\frac{10}{3}\approx 3{,}33\) · \(u_2=\frac{28}{9}\approx 3{,}11\) — La suite semble décroissante et converger vers 3.
B. Bornage par récurrence — \(\mathcal{P}(n):u_n>3\)
Init. : \(u_0=4>3\). Vrai.
Hér. : Si \(u_n>3\), alors \(u_{n+1}=\frac{1}{3}u_n+2>\frac{1}{3}(3)+2=3\). Vrai.
Concl. : \(u_n>3\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
Variations : \(u_{n+1}-u_n=-\frac{2}{3}u_n+2=2\!\left(1-\frac{u_n}{3}\right)<0\) car \(u_n>3\). Donc \((u_n)\) est décroissante et minorée par 3 → converge.
C. Suite auxiliaire : \(v_n=u_n-3\) → \(v_{n+1}=\frac{1}{3}v_n\) → \(v_n=\left(\frac{1}{3}\right)^n\).
\[u_n=3+\left(\frac{1}{3}\right)^n\]
D. Limite : \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=3+0=\mathbf{3}\)
On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0 = 1\) et, pour tout \(n \in \mathbb{N}\) : \[ u_{n+1} = \frac{u_n^{\,2} + 2}{2\,u_n}. \]
Question 1. Calculer \(u_1\) et \(u_2\). En déduire une conjecture sur le comportement de la suite.
Les termes semblent décroître et se rapprocher de \(\sqrt{2} \approx 1{,}414\). Conjecture : la suite converge vers \(\sqrt{2}\).
Question 2. Déterminer les points fixes de \(f(x) = \dfrac{x^2+2}{2x}\).
On résout \(f(x) = x\) pour \(x > 0\) :
\[ \frac{x^2 + 2}{2x} = x \iff x^2 + 2 = 2x^2 \iff x^2 = 2 \iff x = \sqrt{2}. \]Question 3. Montrer par récurrence que \(u_n \ge \sqrt{2}\) pour tout \(n \ge 1\).
Initialisation (\(n=1\)) : \(u_1 = 3/2 > \sqrt{2}\). Vrai.
Hérédité : supposons \(u_n \ge \sqrt{2}\). On calcule :
\[ u_{n+1} - \sqrt{2} = \frac{u_n^2 + 2 - 2\sqrt{2}\,u_n}{2u_n} = \frac{(u_n - \sqrt{2})^2}{2u_n} \ge 0. \]Le numérateur est positif ou nul, le dénominateur est positif : \(u_{n+1} \ge \sqrt{2}\).
Question 4. Montrer que la suite est décroissante à partir du rang 1.
Pour \(n \ge 1\), on a \(u_n \ge \sqrt{2} > 0\) :
\[ u_{n+1} - u_n = \frac{u_n^2 + 2 - 2u_n^2}{2u_n} = \frac{2 - u_n^2}{2u_n}. \]Comme \(u_n^2 \ge 2\), on a \(2 - u_n^2 \le 0\) et \(2u_n > 0\) : la suite est décroissante.
Question 5. Conclure sur la convergence et calculer la limite.
À partir du rang 1, la suite est décroissante et minorée par \(\sqrt{2}\). Par le théorème de la limite monotone, elle converge. Sa limite \(\ell\) vérifie \(f(\ell) = \ell\), d'où :
\[ \lim_{n \to +\infty} u_n = \sqrt{2}. \]C'est l'algorithme de Héron, méthode de calcul numérique de \(\sqrt{2}\) connue depuis l'Antiquité. Le nombre de décimales exactes double à chaque itération.