Terminale D · Leçon 9
Équations différentielles linéaires homogènes du 1er et du 2ème ordre à coefficients constants
Ce que dit le programme officiel (5 points)
- Équations différentielles linéaires homogènes du 1er et du 2ème ordre à coefficients constants : définition
- Résolution
- Définir les équations différentielles linéaires homogènes du 1er et du second ordre à coefficients constants
- Résoudre les équations différentielles linéaires homogènes du 1er et du second ordre à coefficients constants
- Limite : les équations différentielles linéaires avec second membre (non homogènes) ne sont pas au programme
Source : Programme de mathématiques, classe de Terminale D, ministère des Enseignements secondaires (Niger)
Équations différentielles : vocabulaire, solution, condition initiale
Équation dont l’inconnue est une fonction, faisant intervenir cette fonction et ses dérivées.
| Type | Équation | Inconnue | Solution |
|---|---|---|---|
| Algébrique | \(2x+3=7\) | Un nombre | \(x=2\) |
| Différentielle | \(y'=2y\) | Une fonction | \(y(x)=Ce^{2x}\) |
- Solution générale : famille de fonctions paramétrées par \(C\in\mathbb{R}\)
- Condition initiale (CI) : \(y(x_0)=y_0\) → détermine \(C\) de façon unique
- Problème de Cauchy : équation + CI → solution unique
- \(y'=3y\) → Type 1 (homogène)
- \(y'=-2y+6\) → Type 2 (second membre constant)
- \(y'+3y=9\) → Type 2 après mise en forme
Remarque propre au programme du Burkina Faso : vérifie ce point dans ton programme.
- Calculer \(y'(x)\)
- Calculer \(ay(x)+b\)
- Vérifier \(y'=ay+b\) pour tout \(x\)
- Vérifier la CI
\(y'=6e^{2x}\) ; \(2y+2=2(3e^{2x}-1)+2=6e^{2x}\) ✓ ; \(y(0)=3-1=2\) ✓
\(y'=-6e^{-3x}\) ; \(y'+3y=-6e^{-3x}+15+6e^{-3x}=15\) ✓
\(y=Ce^{-t}+3\) solution de \(y'+y=3\) pour tout \(C\). CI : \(C+3=7\) → \(C=4\) → \(y=4e^{-t}+3\)
Équations du second ordre à coefficients constants
À l'équation \(y'' + ay' + by = 0\) (\(a, b \in \mathbb{R}\)) on associe le polynôme caractéristique \(r^{2} + ar + b\) et l'équation : \[ r^{2} + ar + b = 0, \quad \Delta = a^{2} - 4b. \] La nature des racines détermine entièrement la forme de la solution générale.
Les solutions de \(y'' + ay' + by = 0\) sur \(\mathbb{R}\) sont :
\[ \Delta > 0 : \quad y = A\,e^{r_{1}x} + B\,e^{r_{2}x}, \quad r_{1,2} = \frac{-a \pm \sqrt{\Delta}}{2}. \] \[ \Delta = 0 : \quad y = (Ax + B)\,e^{r_{0}x}, \quad r_{0} = -\frac{a}{2}. \]Dans les deux cas, \(A, B \in \mathbb{R}\) sont déterminés par les deux conditions initiales.
- Lire \(a\) et \(b\), calculer \(\Delta = a^{2} - 4b\).
- Si \(\Delta > 0\) : calculer \(r_{1}\) et \(r_{2}\) ; écrire \(y = Ae^{r_{1}x} + Be^{r_{2}x}\).
Si \(\Delta = 0\) : calculer \(r_{0} = -a/2\) ; écrire \(y = (Ax + B)e^{r_{0}x}\). - Dériver \(y\) pour obtenir \(y'\), puis poser le système \(\{y(x_{0}) = y_{0},\; y'(x_{0}) = y'_{0}\}\).
- Résoudre le système \(2 \times 2\) pour trouver \(A\) et \(B\).
- Écrire la solution particulière et vérifier par substitution.
Résoudre \(y'' - 3y' + 2y = 0\) avec \(y(0) = 0\) et \(y'(0) = 1\).
Équation caractéristique : \(r^{2} - 3r + 2 = 0\). \(\Delta = 9 - 8 = 1\), \(r_{1} = 1\), \(r_{2} = 2\). Solution générale : \(y = Ae^{x} + Be^{2x}\).
Condition \(y(0) = 0\) : \(A + B = 0\), soit \(A = -B\).
On calcule \(y' = Ae^{x} + 2Be^{2x}\).
Condition \(y'(0) = 1\) : \(A + 2B = 1\). En substituant \(A = -B\) :
\(-B + 2B = 1\), donc \(B = 1\) et \(A = -1\).
\[ y(x) = e^{2x} - e^{x}. \]
Résoudre \(y'' + 4y' + 4y = 0\) avec \(y(0) = 1\) et \(y'(0) = 0\).
Équation caractéristique : \(r^{2} + 4r + 4 = (r+2)^{2} = 0\), racine double \(r_{0} = -2\). Solution générale : \(y = (Ax + B)e^{-2x}\).
Condition \(y(0) = 1\) : \(B = 1\).
\(y' = Ae^{-2x} + (Ax + B)(-2)e^{-2x} = (A - 2B - 2Ax)e^{-2x}\).
Condition \(y'(0) = 0\) : \(A - 2B = 0\), soit \(A = 2\).
\[ y(x) = (2x + 1)\,e^{-2x}. \]
Solutions — équations du second ordre, \(\Delta \ge 0\)
Famille (\(A\) varié)
Sélectionnez un exemple dans les contrôles ci-dessous
Chaque exemple illustre une configuration de discriminant différente. La solution particulière (trait plein) est sélectionnée par les conditions initiales parmi toute la famille (traits fins).
Quand \(\Delta = 0\), la solution générale n'est pas \(Ce^{r_{0}x}\) mais \((Ax + B)e^{r_{0}x}\). Omettre le facteur \(Ax\) revient à ne disposer que d'un seul paramètre là où il en faut deux pour satisfaire les deux conditions initiales.
Les solutions de \(y'' + \omega^{2}y = 0\) (\(\omega > 0\)) sur \(\mathbb{R}\) sont :
\[ y(x) = A\cos(\omega x) + B\sin(\omega x), \qquad A, B \in \mathbb{R}. \]Cette expression se réécrit sous forme amplitude-phase :
\[ y(x) = R\cos(\omega x - \varphi), \quad R = \sqrt{A^{2}+B^{2}},\quad \tan\varphi = \frac{B}{A}. \]\(R\) est l'amplitude, \(\varphi\) la phase initiale, et \(T = \dfrac{2\pi}{\omega}\) la période propre.
- Lire les coefficients \(A = y(0)\) et \(B = y'(0)/\omega\) depuis les conditions initiales.
- Calculer \(R = \sqrt{A^{2}+B^{2}}\).
- Déterminer \(\varphi \in [0, 2\pi[\) tel que \(\cos\varphi = A/R\) et \(\sin\varphi = B/R\) (ne pas se contenter de \(\tan\varphi = B/A\), qui ne détermine pas le quadrant).
- Conclure : \(y = R\cos(\omega x - \varphi)\).
Résoudre \(y'' + 9y = 0\) avec \(y(0) = 1\) et \(y'(0) = 3\).
On a \(\omega = 3\). Solution générale : \(y = A\cos 3x + B\sin 3x\).
Condition \(y(0) = 1\) : \(A = 1\).
\(y' = -3A\sin 3x + 3B\cos 3x\) ; condition \(y'(0) = 3\) : \(3B = 3\), donc \(B = 1\).
Forme amplitude-phase : \(R = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}\), \(\cos\varphi = 1/\sqrt{2}\) et \(\sin\varphi = 1/\sqrt{2}\), soit \(\varphi = \pi/4\). \[ y(x) = \sqrt{2}\,\cos\!\left(3x - \tfrac{\pi}{4}\right). \]
Oscillateur \(A\cos\omega x + B\sin\omega x\) — paramètres ajustables
Enveloppe ±R
Ajustez \(\omega\), \(A\), \(B\) pour observer amplitude et période
L'amplitude \(R = \sqrt{A^2+B^2}\) est indépendante de \(\omega\). La période \(T = 2\pi/\omega\) diminue quand \(\omega\) augmente. Les enveloppes ±R délimitent la bande dans laquelle oscille la solution.
Un système masse-ressort sans frottement obéit à \(\ddot{x} + \omega^{2}x = 0\) où \(\omega = \sqrt{k/m}\) (\(k\) : raideur, \(m\) : masse). Le mouvement est sinusoïdal, de période propre \(T = 2\pi/\omega\). L'amplitude \(R\) et la phase \(\varphi\) sont entièrement déterminées par la position et la vitesse initiales. En l'absence de dissipation, le système oscille indéfiniment à une fréquence qui ne dépend que de ses paramètres intrinsèques.
Calculer \(\varphi\) à partir de la seule relation \(\tan\varphi = B/A\) ne détermine pas le bon quadrant quand \(A < 0\). Il faut toujours combiner \(\cos\varphi = A/R\) et \(\sin\varphi = B/R\) pour situer \(\varphi\) sans ambiguïté.
Équations y′ = ay
Vérif : si \(y=Ce^{ax}\), alors \(y'=aCe^{ax}=ay\). ✓
| \(a\) | Comportement (\(C>0\)) |
|---|---|
| \(a>0\) | Croissance exponentielle → +∞ |
| \(a=0\) | Constante \(y=C\) |
| \(a<0\) | Décroissance exponentielle → 0 |
1. \(y'=3y\), \(y(0)=2\) : \(y=2e^{3x}\). Vérif : \(y'=6e^{3x}=3y\) ✓
2. \(y'=-y\), \(y(1)=5\) : \(y=5e^{-(x-1)}\)
3. \(2y'=5y\), \(y(0)=3\) : \(y'=\frac{5}{2}y\) → \(y=3e^{2{,}5x}\)
4. \(y'+4y=0\), \(y(2)=-1\) : \(y=-e^{-4(x-2)}\)
Équations y′ = ay + b et second membre
- Équilibre : \(y'=0\) → \(y_{\text{eq}}=-b/a\)
- Homogène associée : \(y'=ay\) → \(y_h=Ce^{ax}\)
- Solution générale : \(y=Ce^{ax}-b/a\)
1. \(y'=2y+3\), \(y(0)=1\) : équilibre \(-3/2\), \(C=5/2\) → \(y=\frac{5}{2}e^{2x}-\frac{3}{2}\)
2. \(y'=-y+4\), \(y(0)=2\) : équilibre 4, \(C=-2\) → \(y=4-2e^{-x}\) → tend vers 4
3. \(y'+3y=6\), \(y(1)=0\) : \(y'=-3y+6\), équilibre 2 → \(y=2(1-e^{-3(x-1)})\)
4. \(3y'-6y=9\), \(y(0)=-2\) : \(y'=2y+3\), \(C=-1/2\) → \(y=-\frac{1}{2}e^{2x}-\frac{3}{2}\)
Sol. : \(y=Ce^{ax}\)
Ex. : \(y'=3y\), \(2y'+y=0\)
Sol. : \(y=Ce^{ax}-b/a\)
Ex. : \(y'=2y+3\), \(y'+y=4\)
| Équation | Forme standard | Type | \(a\) | \(b\) |
|---|---|---|---|---|
| \(y'+2y=0\) | \(y'=-2y\) | 1 | \(-2\) | \(0\) |
| \(3y'=y\) | \(y'=\frac{1}{3}y\) | 1 | \(\frac{1}{3}\) | \(0\) |
| \(y'+y=5\) | \(y'=-y+5\) | 2 | \(-1\) | \(5\) |
| \(2y'-4y=6\) | \(y'=2y+3\) | 2 | \(2\) | \(3\) |
| \(y'=\frac{y-2}{3}\) | \(y'=\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}\) | 2 | \(\frac{1}{3}\) | \(-\frac{2}{3}\) |
- \(y'+3y=6\) → \(a=+3\) ✘ → \(y'=-3y+6\) donc \(a=-3\)
- \(y'=2y+3\) → solution \(Ce^{2x}+\frac{3}{2}\) ✘ → le signe est \(-b/a=-\frac{3}{2}\)
- Confondre \(e^{ax}\) et \(ae^x\)
Résumé
Sol. : \(y=Ce^{ax}\)
Avec CI : \(y=y_0 e^{a(x-x_0)}\)
\(a<0\) : décroissance vers 0
Sol. : \(y=Ce^{ax}-b/a\)
Équilibre : \(y_{\text{eq}}=-b/a\)
\(a<0\) : convergence
Ramener à \(y'=ay+b\)
Identifier \(a\) et \(b\) (signes !)
Substituer \(y(x_0)=y_0\)
Résoudre pour \(C\)
Calculer \(y'\) et \(ay+b\)
Vérifier l’égalité + CI
« Proportionnel » → \(ay\)
« Vitesse de variation » → \(y'\)
Équilibre = état stable
\(y' + ay = 0 \Rightarrow y = Ce^{-ax}\)
Condition \(y(x_0)=y_0\) : \(C = y_0\,e^{ax_0}\)
Racines \(r_1, r_2\) réelles distinctes
\(y = Ae^{r_1 x}+Be^{r_2 x}\)
Racine double \(r_0 = -a/2\)
\(y = (Ax+B)e^{r_0 x}\)
\(y = A\cos\omega x + B\sin\omega x\)
\(= R\cos(\omega x-\varphi)\), \(T=2\pi/\omega\)
\(y = y_H + y_p\)
Chercher \(y_p\) sous la forme indiquée ; attention résonance.
\(N' = -\lambda N \Rightarrow N = N_0 e^{-\lambda t}\)
Demi-vie : \(T_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{\lambda}\)
Sujet type Bac
Contexte : \(C'(t)=-0{,}2\,C(t)+1{,}6\), \(C(0)=8\) mg/L.
Type 2 : \(a=-0{,}2\), \(b=1{,}6\). Équilibre : \(-b/a=8\).
\(C(t)=Ke^{-0{,}2t}+8\). Vérif : \(C'=-0{,}2Ke^{-0{,}2t}\) ; \(-0{,}2C+1{,}6=-0{,}2Ke^{-0{,}2t}\) ✓
\(K+8=8\) → \(K=0\) → \(C(t)=8\) (déjà à l’équilibre).
\(K+8=2\) → \(K=-6\) → \(C(t)=-6e^{-0{,}2t}+8\)
\(a=-0{,}2<0\) : \(C(t)\to 8\) mg/L quand \(t\to+\infty\).
\(C(t)=7\) : \(e^{-0{,}2t}=1/6\) → \(t=5\ln 6\approx 8{,}96\) h
Partie A — Croissance et saturation (premier ordre)
On considère l'équation \((E_1)\) : \(y' + 0{,}5\,y = 2\) sur \(\mathbb{R}\).
Question 1. Montrer que \(y_{p} = 4\) est solution particulière de \((E_1)\).
Si \(y_p = 4\) (constante), alors \(y_p' = 0\). Substitution dans \((E_1)\) : \(0 + 0{,}5 \times 4 = 2\). C'est bien égal au second membre. Donc \(y_p = 4\) est une solution particulière.
Question 2. Résoudre l'équation homogène associée, puis écrire la solution générale de \((E_1)\).
Homogène : \(y' + 0{,}5\,y = 0\) → \(y_H = Ce^{-x/2}\), \(C \in \mathbb{R}\).
Solution générale de \((E_1)\) : \(y = Ce^{-x/2} + 4\), \(C \in \mathbb{R}\).
Question 3. Déterminer la solution vérifiant \(y(0) = 1\). Étudier le comportement en \(+\infty\) et interpréter.
Condition \(y(0) = 1\) : \(C + 4 = 1\), d'où \(C = -3\). \[ y(x) = 4 - 3e^{-x/2}. \] Quand \(x \to +\infty\), \(e^{-x/2} \to 0\) donc \(y \to 4\). La grandeur part de 1 et converge vers la valeur d'équilibre 4 — comportement typique d'une croissance à saturation (capacité portante).
Partie B — Oscillations libres (second ordre)
On étudie \((E_2)\) : \(y'' + 5y' + 6y = 0\) avec \(y(0) = 2\) et \(y'(0) = -4\).
Question 4. Écrire et résoudre l'équation caractéristique. En déduire la solution générale de \((E_2)\).
Équation caractéristique : \(r^{2} + 5r + 6 = 0\). \(\Delta = 25 - 24 = 1 > 0\). \(r_1 = -3\) et \(r_2 = -2\). \[ y = Ae^{-3x} + Be^{-2x}. \]
Question 5. Déterminer \(A\) et \(B\). Montrer que \(y(x) > 0\) pour tout \(x \ge 0\) et que \(y \to 0^{+}\).
Condition \(y(0) = 2\) : \(A + B = 2\).
\(y' = -3Ae^{-3x} - 2Be^{-2x}\) ; condition \(y'(0) = -4\) : \(-3A - 2B = -4\).
Système : \(\{A + B = 2 \;;\; 3A + 2B = 4\}\).
De la seconde : \(3A + 2(2-A) = 4\), soit \(A + 4 = 4\), d'où \(A = 0\) et \(B = 2\).
\[ y(x) = 2e^{-2x}. \]
Pour \(x \ge 0\), \(e^{-2x} > 0\) donc \(y(x) = 2e^{-2x} > 0\).
De plus, \(e^{-2x} \to 0\) quand \(x \to +\infty\) → \(y \to 0^{+}\) :
retour exponentiel à l'équilibre sans oscillation (régime sur-amorti).