Terminale D · Leçon 12
Séries statistiques à deux variables (doubles)
Ce que dit le programme officiel (9 points)
- Nuage de points, point moyen
- Droites de régression
- Coefficient de corrélation
- Représenter un nuage de points
- Déterminer le point moyen
- Déterminer les équations des droites de régression et tracer ces droites
- Calculer et interpréter le coefficient de corrélation
- Limite : les formules donnant les coefficients des droites de régression peuvent être établies pour trois ou quatre points puis être admises
- Limite : la corrélation est estimée bonne quand la valeur absolue du coefficient de corrélation est comprise entre 0,87 et 1
Source : Programme de mathématiques, classe de Terminale D, ministère des Enseignements secondaires (Niger)
Série double : nuage de points et point moyen
Une série statistique double (ou bivariée) est un ensemble de \(n\) couples \((x_i,\,y_i)\) où \(x_i\) est la variable explicative (indépendante) et \(y_i\) la variable à expliquer (dépendante), \(i\) variant de 1 à \(n\).
| Obs. 1 | Obs. 2 | Obs. 3 | … | Obs. \(n\) | |
|---|---|---|---|---|---|
| \(x_i\) | \(x_1\) | \(x_2\) | \(x_3\) | … | \(x_n\) |
| \(y_i\) | \(y_1\) | \(y_2\) | \(y_3\) | … | \(y_n\) |
- Heures de révision \((x)\) et note à l'examen \((y)\)
- Température extérieure \((x)\) et consommation d'électricité \((y)\)
- Âge d'une voiture en années \((x)\) et son prix de revente \((y)\)
- Taille des élèves \((x)\) et leur poids \((y)\)
Le nuage de points est la représentation graphique de la série : chaque couple \((x_i;\,y_i)\) est un point dans un repère orthogonal. L'examen visuel du nuage est la première étape indispensable avant tout ajustement.
| Forme du nuage | Interprétation | Action |
|---|---|---|
| Points alignés en montant | Corrélation positive forte | Ajustement affine si \(r\approx 1\) |
| Points alignés en descendant | Corrélation négative forte | Ajustement affine si \(r\approx -1\) |
| Points éparpillés | Peu ou pas de corrélation | Ajustement affine inadapté |
| Points sur une courbe | Relation non linéaire | Changement de variable |
Figure 1 — Nuage de points interactif et droite de régression
Déplacer les points bleus · Double-clic pour ajouter (max 12)
Nuage de points interactif. Déplacer les points bleus à la souris. Double-clic sur le fond pour ajouter un point. Mise à jour automatique de \(\bar{x}\), \(\bar{y}\), Cov\((X,Y)\), \(r\) et de la droite de régression.
Le point moyen \(G(\bar{x},\,\bar{y})\) est le centre de gravité du nuage, où \(\bar{x}\) et \(\bar{y}\) sont les moyennes arithmétiques des deux séries.
\[G\!\left(\bar{x},\;\bar{y}\right) \qquad \bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i \qquad \bar{y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}y_i\]
Le point moyen \(G(\bar{x},\,\bar{y})\) appartient toujours à la droite de régression de \(y\) en \(x\). Cette propriété sert à vérifier l'équation obtenue.
| \(x_i\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | Somme |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y_i\) | 2 | 4 | 5 | 7 | 8 | 26 |
\[\bar{x}=\frac{15}{5}=3 \qquad \bar{y}=\frac{26}{5}=5{,}2 \qquad \Rightarrow\quad G(3\,;\,5{,}2)\]
Ajustement affine par la méthode de Mayer
La droite de Mayer est une droite d'ajustement obtenue graphiquement à partir de deux points moyens partiels. Elle offre une estimation rapide de la tendance sans calculs intensifs.
On procède en trois étapes successives.
Étape 1. Ranger les points par abscisses croissantes, puis partager le nuage en deux sous-nuages d'effectifs égaux (ou aussi proches que possible). En cas d'effectif impair, le point médian est mis de côté ou rattaché à l'un des deux sous-nuages selon la consigne.
Étape 2. Calculer le point moyen \(G_1(\bar{x}_1\,;\,\bar{y}_1)\) du premier sous-nuage (les petites valeurs de \(x\)) et le point moyen \(G_2(\bar{x}_2\,;\,\bar{y}_2)\) du second sous-nuage (les grandes valeurs de \(x\)).
Étape 3. La droite de Mayer est la droite \((G_1 G_2)\). Son équation \(y = ax + b\) s'obtient par :
\[ a = \frac{\bar{y}_2 - \bar{y}_1}{\bar{x}_2 - \bar{x}_1} \qquad\qquad b = \bar{y} - a\,\bar{x} \]où \(\bar{x}\) et \(\bar{y}\) sont les moyennes globales. La vérification que la droite passe par \(G(\bar{x}\,;\,\bar{y})\) est indispensable.
Six couples classés par \(x\) croissant : \((1;3), (2;4), (3;6), (5;8), (6;10), (8;13)\).
Sous-nuage bas (3 premiers) : \(G_1\!\left(\dfrac{1+2+3}{3}\,;\,\dfrac{3+4+6}{3}\right) = G_1(2\,;\,\tfrac{13}{3})\).
Sous-nuage haut (3 derniers) : \(G_2\!\left(\dfrac{5+6+8}{3}\,;\,\dfrac{8+10+13}{3}\right) = G_2\!\left(\tfrac{19}{3}\,;\,\tfrac{31}{3}\right)\).
Pente : \(a = \dfrac{\tfrac{31}{3} - \tfrac{13}{3}}{\tfrac{19}{3} - 2} = \dfrac{\tfrac{18}{3}}{\tfrac{13}{3}} = \dfrac{18}{13} \approx 1{,}38\).
Moyenne globale : \(\bar{x} = \dfrac{25}{6} \approx 4{,}17\) ; \(\bar{y} = \dfrac{44}{6} \approx 7{,}33\). Alors \(b = 7{,}33 - 1{,}38 \times 4{,}17 \approx 1{,}57\).
Droite de Mayer approximative : \(y \approx 1{,}38\,x + 1{,}57\). Vérification : \(G(\approx\!4{,}17\,;\,\approx\!7{,}33)\) appartient bien à cette droite (\(1{,}38 \times 4{,}17 + 1{,}57 \approx 7{,}33\)).
Données : \((1;2), (2;3), (3;5), (4;6), (5;9)\). L'effectif est 5 (impair). On écarte le point médian \((3;5)\) et on forme deux sous-nuages de 2 points.
\(G_1(1{,}5\,;\,2{,}5)\) et \(G_2(4{,}5\,;\,7{,}5)\). Pente : \(a = \dfrac{7{,}5 - 2{,}5}{4{,}5 - 1{,}5} = \dfrac{5}{3} \approx 1{,}67\). Moyenne globale : \(\bar{x}=3\), \(\bar{y}=5\). Alors \(b = 5 - \tfrac{5}{3} \times 3 = 0\).
Droite de Mayer : \(y = \dfrac{5}{3}\,x\) (passe par l'origine).
La méthode de Mayer est rapide et intuitive, mais le résultat dépend du découpage choisi : un autre partage donne une droite différente. Elle constitue une estimation grossière là où la méthode des moindres carrés (section suivante) fournit une droite unique, optimale au sens de la minimisation des écarts au carré.
Astuce. Pour vérifier rapidement que la droite de Mayer passe par \(G\), il suffit de constater que \(G\) est à mi-chemin de \(G_1\) et \(G_2\) lorsque les deux sous-nuages ont le même effectif. En effet, dans ce cas \(\bar{x} = \tfrac{\bar{x}_1 + \bar{x}_2}{2}\) et de même pour \(\bar{y}\).
Droite de Mayer et sous-nuages
Sous-nuage haut
\(G_1\) et \(G_2\)
Droite de Mayer
Ajustement par les moindres carrés et prévisions
La droite de régression de \(y\) en \(x\), notée \(y=ax+b\), minimise la somme des carrés des écarts verticaux entre les points et la droite.
\[a=\frac{\text{Cov}(X,Y)}{V(X)}=\frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sigma_X^2} \qquad b=\bar{y}-a\bar{x}\]
où \(V(X)=\sigma_X^2=\overline{x^2}-\bar{x}^2\). Formule alternative : \(a=r\cdot\dfrac{\sigma_Y}{\sigma_X}\).
- Calculer \(\bar{x}\) et \(\bar{y}\).
- Calculer \(\text{Cov}(X,Y)=\overline{xy}-\bar{x}\cdot\bar{y}\).
- Calculer \(V(X)=\overline{x^2}-\bar{x}^2\).
- Calculer \(a=\dfrac{\text{Cov}(X,Y)}{V(X)}\).
- Calculer \(b=\bar{y}-a\bar{x}\).
- Écrire \(y=ax+b\) et vérifier que \(G(\bar{x};\bar{y})\) appartient à la droite.
| \(x_i\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | Total |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y_i\) | 2 | 4 | 5 | 7 | 8 | 26 |
| \(x_i^2\) | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 55 |
| \(x_iy_i\) | 2 | 8 | 15 | 28 | 40 | 93 |
\[\bar{x}=3 \quad \bar{y}=5{,}2 \quad \overline{xy}=18{,}6 \quad \text{Cov}=3 \quad \overline{x^2}=11 \quad V(X)=2\]
\[a=\frac{3}{2}=1{,}5 \qquad b=5{,}2-1{,}5\times3=0{,}7\]
\[\boxed{y=1{,}5x+0{,}7}\]
Vérification : \(y(\bar{x})=1{,}5\times3+0{,}7=5{,}2=\bar{y}\) — le point \(G(3;\,5{,}2)\) appartient bien à la droite.
Figure 2 — Droite de régression et résidus (moindres carrés)
Déplacer les points bleus
La droite des moindres carrés minimise la somme des carrés des résidus (SCR). Activer les carrés des résidus pour voir cette propriété visuellement. Déplacer les points pour observer la mise à jour en temps réel.
Interpolation : estimer \(y\) pour \(x\) à l'intérieur de \([x_{\min};\,x_{\max}]\) — plus fiable.
Extrapolation : estimer \(y\) pour \(x\) en dehors de l'intervalle — moins fiable, à mentionner explicitement au Bac.
Interpolation — \(x=2{,}5\) dans \([1;\,5]\) :
\[y=1{,}5\times2{,}5+0{,}7=4{,}45\]
Extrapolation — \(x=10\) hors de \([1;\,5]\) :
\[y=1{,}5\times10+0{,}7=15{,}7 \quad \text{(à prendre avec prudence)}\]
- La relation linéaire peut ne pas se prolonger au-delà des données observées.
- Plus on s'éloigne des données, plus l'erreur potentielle est grande.
- Au Bac : toujours mentionner qu'il s'agit d'une extrapolation et signaler la prudence requise.
Covariance et coefficient de corrélation linéaire
La covariance mesure la façon dont \(X\) et \(Y\) varient ensemble.
\[\text{Cov}(X,Y)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})\]
Formule de calcul pratique :
\[\text{Cov}(X,Y)=\overline{xy}-\bar{x}\cdot\bar{y} \qquad \text{où}\quad\overline{xy}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_iy_i\]
Interprétation : Cov > 0 → même sens · Cov < 0 → sens inverse · Cov ≈ 0 → pas de liaison linéaire.
Version normalisée de la covariance, indépendante des unités.
\[r=\frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sigma_X\times\sigma_Y} \qquad -1\leq r\leq 1\]
où \(\sigma_X=\sqrt{\overline{x^2}-\bar{x}^2}\) et \(\sigma_Y=\sqrt{\overline{y^2}-\bar{y}^2}\).
| Valeur de \(|r|\) | Interprétation | Ajustement affine |
|---|---|---|
| \(0{,}9 < |r|\leq 1\) | Très forte corrélation | Excellent |
| \(0{,}7 < |r|\leq 0{,}9\) | Forte corrélation | Bon |
| \(0{,}5 < |r|\leq 0{,}7\) | Corrélation moyenne | Acceptable avec prudence |
| \(|r|\leq 0{,}5\) | Faible corrélation | Inadapté |
| \(x_i\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | \(\overline{xy}\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y_i\) | 2 | 4 | 5 | 7 | 8 | |
| \(x_iy_i\) | 2 | 8 | 15 | 28 | 40 | \(\frac{93}{5}=18{,}6\) |
\[\text{Cov}(X,Y)=18{,}6-3\times5{,}2=3 \qquad \text{Cov}>0 \Rightarrow \text{liaison positive}\]
Une forte corrélation indique une association statistique, pas une relation de cause à effet. Une variable cachée peut expliquer les deux variables simultanément.
- Ventes de glaces et noyades — corrélées par la chaleur, pas de causalité.
- Nombre de pompiers et gravité des dégâts — corrélés par la taille de l'incendie.
Résumé
\(G(\bar{x},\bar{y})\) — appartient toujours à la droite de régression.
\(\bar{x}=\dfrac{\sum x_i}{n}\), \(\bar{y}=\dfrac{\sum y_i}{n}\)
\(\text{Cov}(X,Y)=\overline{xy}-\bar{x}\cdot\bar{y}\)
Signe → direction de la liaison.
\(r=\dfrac{\text{Cov}(X,Y)}{\sigma_X\cdot\sigma_Y}\), \(-1\leq r\leq 1\)
\(|r|\approx 1\) → ajustement affine justifié.
\(a=\dfrac{\text{Cov}(X,Y)}{V(X)}\), \(b=\bar{y}-a\bar{x}\)
Passe toujours par \(G(\bar{x},\bar{y})\).
\(V(X)=\overline{x^2}-\bar{x}^2=\sigma_X^2\)
Toujours positive ou nulle.
Exponentiel \(y=ae^{bx}\) → \(Y=\ln y\)
Logarithmique \(y=a\ln x+b\) → \(X=\ln x\)
Puissance \(y=ax^b\) → \(X=\ln x\), \(Y=\ln y\)
\(G(\bar{x}\,;\,\bar{y})\) avec \(\bar{x} = \dfrac{1}{n}\sum x_i\). Toute droite d'ajustement passe par \(G\).
Partager en deux sous-nuages, calculer \(G_1\) et \(G_2\), puis écrire l'équation de \((G_1 G_2)\). Vérifier le passage par \(G\).
\(\operatorname{cov}(x,y) = \overline{xy} - \bar{x}\,\bar{y}\). Dresser un tableau avec \(x_i^2\), \(y_i^2\), \(x_i y_i\).
\(a = \dfrac{\operatorname{cov}(x,y)}{V(x)}\), \(b = \bar{y} - a\,\bar{x}\). Droite unique, optimale.
\(r = \dfrac{\operatorname{cov}(x,y)}{\sqrt{V(x)\,V(y)}}\), \(-1 \le r \le 1\). Ajustement acceptable si \(|r| \ge 0{,}87\).
Utiliser la droite de \(y\) en \(x\) pour prédire \(y\). L'extrapolation doit rester proche des données observées.
Sujet type Bac
On étudie l'évolution du chiffre d'affaires \(y\) (en millions de FCFA) d'une entreprise en fonction de l'année \(x\) (avec \(x=1\) pour 2018).
| \(x_i\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y_i\) | 12 | 15 | 17 | 21 | 24 | 28 |
1. Calculer \(\bar{x}\), \(\bar{y}\), \(\text{Cov}(X,Y)\), \(V(X)\) et le coefficient de corrélation \(r\).
2. Déterminer l'équation de la droite de régression de \(y\) en \(x\). Vérifier que \(G\) appartient à la droite.
3. Estimer le chiffre d'affaires prévu pour 2025. S'agit-il d'une interpolation ou d'une extrapolation ?
Éléments de réponse : \(\bar{x}=3{,}5\), \(\bar{y}=19{,}5\), \(\overline{xy}=74{,}5\), \(\text{Cov}=74{,}5-3{,}5\times19{,}5=6{,}25\), \(V(X)=\overline{x^2}-\bar{x}^2=15{,}17-12{,}25=2{,}92\), \(a\approx2{,}14\), \(b\approx12{,}01\). Droite : \(y\approx2{,}14x+12{,}01\). Pour 2025, \(x=8\) : \(y\approx29{,}1\) — extrapolation (hors de \([1;\,6]\)).
Une entreprise enregistre, pour huit années consécutives, la production annuelle \(x_i\) (en milliers de tonnes) et la masse salariale \(y_i\) (en millions de francs CFA). Les données sont :
| Année \(i\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(x_i\) | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 | 20 | 22 | 24 |
| \(y_i\) | 32 | 37 | 42 | 49 | 56 | 61 | 70 | 73 |
Question 1. Calculer les moyennes \(\bar{x}\) et \(\bar{y}\), et donner les coordonnées du point moyen \(G\).
\(\displaystyle\bar{x} = \frac{10+12+14+16+18+20+22+24}{8} = \frac{136}{8} = 17\).
\(\displaystyle\bar{y} = \frac{32+37+42+49+56+61+70+73}{8} = \frac{420}{8} = 52{,}5\).
Le point moyen est \(\boxed{G(17\,;\,52{,}5)}\).
Question 2. À l'aide de la méthode de Mayer, déterminer une équation de la droite d'ajustement de \(y\) en \(x\). On partagera le nuage en deux sous-nuages de quatre points.
Sous-nuage bas (\(x = 10, 12, 14, 16\)) : \(\bar{x}_1 = 13\), \(\bar{y}_1 = \dfrac{32+37+42+49}{4} = \dfrac{160}{4} = 40\). Donc \(G_1(13\,;\,40)\).
Sous-nuage haut (\(x = 18, 20, 22, 24\)) : \(\bar{x}_2 = 21\), \(\bar{y}_2 = \dfrac{56+61+70+73}{4} = \dfrac{260}{4} = 65\). Donc \(G_2(21\,;\,65)\).
Pente : \(a = \dfrac{65 - 40}{21 - 13} = \dfrac{25}{8} = 3{,}125\).
Ordonnée à l'origine : \(b = \bar{y} - a\,\bar{x} = 52{,}5 - 3{,}125 \times 17 = 52{,}5 - 53{,}125 = -0{,}625\).
Vérification : \(G(17\,;\,52{,}5)\) appartient à la droite : \(3{,}125 \times 17 - 0{,}625 = 53{,}125 - 0{,}625 = 52{,}5\). Correct.
Droite de Mayer : \(\boxed{y = 3{,}125\,x - 0{,}625}\).
Question 3. Calculer la covariance \(\operatorname{cov}(x,y)\), les variances \(V(x)\) et \(V(y)\), puis déterminer la droite de régression des moindres carrés de \(y\) en \(x\).
On dresse le tableau de calcul :
| \(x_i\) | \(y_i\) | \(x_i^2\) | \(y_i^2\) | \(x_i y_i\) |
|---|---|---|---|---|
| 10 | 32 | 100 | 1024 | 320 |
| 12 | 37 | 144 | 1369 | 444 |
| 14 | 42 | 196 | 1764 | 588 |
| 16 | 49 | 256 | 2401 | 784 |
| 18 | 56 | 324 | 3136 | 1008 |
| 20 | 61 | 400 | 3721 | 1220 |
| 22 | 70 | 484 | 4900 | 1540 |
| 24 | 73 | 576 | 5329 | 1752 |
| 136 | 420 | 2480 | 23644 | 7656 |
\(\overline{xy} = \dfrac{7656}{8} = 957\), donc \(\operatorname{cov}(x,y) = 957 - 17 \times 52{,}5 = 957 - 892{,}5 = 64{,}5\).
\(V(x) = \dfrac{2480}{8} - 17^2 = 310 - 289 = 21\).
\(V(y) = \dfrac{23644}{8} - 52{,}5^2 = 2955{,}5 - 2756{,}25 = 199{,}25\).
\(a = \dfrac{64{,}5}{21} \approx 3{,}071\) ; \(b = 52{,}5 - 3{,}071 \times 17 \approx 52{,}5 - 52{,}21 \approx 0{,}29\).
Droite des moindres carrés : \(\boxed{y \approx 3{,}07\,x + 0{,}29}\).
Question 4. Calculer le coefficient de corrélation \(r\) et commenter la qualité de l'ajustement.
\(r = \dfrac{\operatorname{cov}(x,y)}{\sqrt{V(x) \cdot V(y)}} = \dfrac{64{,}5}{\sqrt{21 \times 199{,}25}} = \dfrac{64{,}5}{\sqrt{4184{,}25}} \approx \dfrac{64{,}5}{64{,}69} \approx 0{,}997\).
Le coefficient de corrélation \(r \approx 0{,}997\) est très proche de 1. Comme \(|r| > 0{,}87\), la liaison affine entre production et masse salariale est très forte et positive. L'ajustement par une droite est donc excellent et les prévisions réalisées à partir de la droite des moindres carrés seront fiables dans la plage des données observées.
Question 5. En utilisant la droite des moindres carrés, estimer la masse salariale prévue pour une production de \(x = 28\) milliers de tonnes. Cette extrapolation vous semble-t-elle raisonnable ? Justifier.
Pour \(x = 28\) : \(y \approx 3{,}07 \times 28 + 0{,}29 = 85{,}96 + 0{,}29 \approx 86{,}25\).
La masse salariale estimée serait d'environ 86,25 millions de francs CFA.
Cette extrapolation reste raisonnable : \(x = 28\) est légèrement au-delà des données observées (\(x\) allait jusqu'à 24), mais le coefficient de corrélation \(r \approx 0{,}997\) confirme une tendance très régulière. On peut supposer que la tendance se maintient sur une courte extrapolation. En revanche, extrapoler jusqu'à \(x = 100\) ou plus serait imprudent sans nouvelle information.