Terminale D · Leçon 11
Variables aléatoires
Ce que dit le programme officiel (10 points)
- Notion de variable aléatoire : définition
- Définir une variable aléatoire réelle
- Loi de probabilité
- Déterminer la loi de probabilité d’une variable aléatoire réelle
- Espérance mathématique ; variance et écart-type
- Déterminer l’espérance mathématique, la variance, l’écart type d’une variable aléatoire
- Fonction de répartition
- Déterminer la fonction de répartition d’une variable aléatoire réelle
- Loi binomiale : schéma de Bernoulli ; épreuves répétées
- Définir et utiliser la loi binomiale
Source : Programme de mathématiques, classe de Terminale D, ministère des Enseignements secondaires (Niger)
Variable aléatoire discrète : loi, espérance, variance
Espérance, Variance, Écart-type
\[E(X)=\sum x_i p_i \qquad V(X)=E(X^2)-[E(X)]^2 \qquad \sigma(X)=\sqrt{V(X)}\]
Interprétations : jeu équitable si \(E(X)=0\) ; favorable si \(E(X)>0\) ; défavorable si \(E(X)<0\).
Exemple — Jeu de dé
Gain : +2 € si on obtient 6 (\(p=\frac{1}{6}\)), −1 € sinon. Loi de \(X\) :
\[E(X)=2\cdot\frac{1}{6}+(-1)\cdot\frac{5}{6}=\frac{2-5}{6}=-\frac{1}{2}\approx -0{,}50\text{ €}\]
\(E(X)<0\) : le jeu est défavorable au joueur.
Fonction de répartition
La fonction de répartition d'une variable aléatoire \(X\) est la fonction \(F\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :
\[F(x) = P(X \le x).\]C'est une fonction en escalier, croissante au sens large, qui vaut 0 avant la plus petite valeur de \(X\) et vaut 1 à partir de la plus grande. À chaque valeur \(x_i\), elle fait un saut d'amplitude \(p_i = P(X = x_i)\).
La fonction de répartition permet de calculer directement des probabilités d'intervalles :
\[ P(X \le b) = F(b) \qquad P(X > a) = 1 - F(a) \qquad P(a < X \le b) = F(b) - F(a). \]Attention : la convention habituelle est \(F(x) = P(X \le x)\), qui inclut la valeur \(x\). Ainsi \(P(X < x) = F(x) - P(X = x)\) (différent de \(F(x)\) si \(X\) prend la valeur \(x\) avec une probabilité non nulle).
Pour construire le graphe de \(F\) : (1) écrire les valeurs \(x_i\) dans l'ordre croissant ; (2) calculer les paliers de \(F\) en cumulant les probabilités de gauche à droite (\(F(x_i) = p_1 + p_2 + \cdots + p_i\)) ; (3) tracer des segments horizontaux avec un point plein à gauche et un cercle vide à droite (convention de continuité à droite).
Pour \(X\) définie par \(P(X=0)=\tfrac{1}{2}\), \(P(X=20)=\tfrac{1}{3}\), \(P(X=100)=\tfrac{1}{6}\), la fonction de répartition est :
\[ F(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x < 0, \\[4pt] \dfrac{1}{2} & \text{si } 0 \le x < 20, \\[6pt] \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{6} & \text{si } 20 \le x < 100, \\[6pt] 1 & \text{si } x \ge 100. \end{cases} \]Par exemple : \(P(X \le 50) = F(50) = \tfrac{5}{6}\) (on tient compte des cas \(X=0\) et \(X=20\)) ; \(P(X > 20) = 1 - F(20) + P(X=20)\) … attention ici à la convention ! Comme \(F(20) = P(X \le 20) = \tfrac{5}{6}\), on obtient \(P(X > 20) = 1 - \tfrac{5}{6} = \tfrac{1}{6}\).
Fonction de répartition — Loi de X interactive
Curseur \(t\)
Épreuve et schéma de Bernoulli, loi binomiale
Loi \(B(n,p)\) — Schéma de Bernoulli
Conditions : \(n\) épreuves indépendantes, exactement 2 issues, même probabilité de succès \(p\). \(X\) = nombre de succès.
\[P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} \qquad E(X)=np \qquad V(X)=np(1-p)\]
Figure 3 — Diagramme de la loi binomiale \(B(n, p)\) (interactif)
Diagramme en bâtons de la loi \(B(n,p)\). Curseurs \(n\in[1,20]\) et \(p\in[0{,}05\,;\,0{,}95]\). La ligne verticale en rouge indique \(E(X)=np\). La zone colorée en or représente \(P(X\geq k_0)\). Le panneau affiche \(E(X)\), \(\sigma(X)\) et la somme de contrôle (doit valoir 1).
Exemple — QCM de 5 questions (\(p=0{,}25\))
\(X\sim B(5,\;0{,}25)\). Espérance : \(E(X)=1{,}25\) bonne réponse en moyenne. \(\sigma(X)\approx 0{,}97\).
\[P(X=2)=\binom{5}{2}(0{,}25)^2(0{,}75)^3=10\times0{,}0625\times0{,}4219\approx 0{,}264\]
\[P(X\geq3)=1-P(X\leq2)\approx 1-0{,}896=0{,}104\]
Les 7 erreurs les plus coûteuses
- Utiliser les combinaisons quand l'ordre compte (arrangements) — et inversement.
- Oublier que \(0!=1\).
- Confondre événements incompatibles et indépendants.
- Écrire \(P(A\mid B)=P(A\cap B)\) sans diviser par \(P(B)\).
- Additionner les probabilités sur un arbre au lieu de les multiplier le long d'un chemin.
- Ne pas vérifier que la somme des \(p_i\) vaut 1 dans la loi de \(X\).
- Appliquer la loi binomiale sans vérifier les trois conditions : indépendance, même \(p\), deux issues.
Les 5 réflexes gagnants
- Se demander si l'ordre compte avant tout calcul de dénombrement.
- Vérifier la partition sur chaque nœud de l'arbre (somme des branches = 1).
- Exploiter le complémentaire : \(P(X\geq 1)=1-P(X=0)\).
- Vérifier les trois conditions avant d'invoquer la loi binomiale.
- Interpréter \(E(X)\) concrètement dans le contexte du problème.
Résumé
Résumé — Formules et points clés du chapitre
\(n!=n(n-1)\cdots 1\), \(0!=1\)
Étapes indépendantes → produit des issues
\(A_n^k=\dfrac{n!}{(n-k)!}\), \(P_n=n!\)
Ordre compte, éléments distincts
\(\binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}\)
Pascal : \(\binom{n+1}{k}=\binom{n}{k-1}+\binom{n}{k}\)
\(P(A|B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}\)
Composée : \(P(A\cap B)=P(B)P(A|B)\)
\(P(A)=\sum P(B_i)P(A|B_i)\)
Bayes : \(P(B_i|A)=\dfrac{P(B_i)P(A|B_i)}{P(A)}\)
\(P(X=k)=\binom{n}{k}p^kq^{n-k}\)
\(E=np\), \(\sigma=\sqrt{npq}\)
\(P(A) = \dfrac{\text{cas favorables}}{\text{cas possibles}}\) — valable uniquement quand toutes les issues sont équiprobables.
\(P(\bar{A}) = 1 - P(A)\). \(P(A \cup B) = P(A)+P(B)-P(A\cap B)\).
Tableau \((x_i, p_i)\) avec \(\sum p_i = 1\). Toujours vérifier la somme des probabilités.
\(F(x) = P(X \le x)\) — fonction en escalier croissante de 0 à 1, paliers cumulés de gauche à droite.
\(E(X) = \sum x_i p_i\). \(V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2\). \(\sigma(X) = \sqrt{V(X)}\).
Si \(X\) est le gain net : jeu équitable \(\Leftrightarrow\) \(E(X)=0\). Favorable au joueur \(\Leftrightarrow\) \(E(X)>0\).
Sujet type Bac
Exercice type Bac — Dénombrement & Loi binomiale
Une urne contient 5 boules rouges (R) et 3 boules bleues (B). On effectue 4 tirages successifs avec remise. Soit \(X\) le nombre de boules rouges obtenues.
1. Montrer que \(X\) suit une loi binomiale. Préciser les paramètres.
2. Calculer \(P(X=2)\), \(P(X\geq 3)\), \(E(X)\) et \(\sigma(X)\).
3. On tire maintenant 4 boules sans remise. Calculer la probabilité d'obtenir exactement 2 boules rouges.
Éléments de réponse : 1. \(X\sim B(4,\frac{5}{8})\). 2. \(P(X=2)=6\cdot(\frac{5}{8})^2\cdot(\frac{3}{8})^2\approx 0{,}263\) ; \(P(X\geq3)=P(X=3)+P(X=4)\approx 0{,}586\) ; \(E(X)=\frac{5}{2}=2{,}5\) ; \(\sigma\approx 0{,}968\). 3. Sans remise, utiliser les combinaisons : \(\dfrac{\binom{5}{2}\binom{3}{2}}{\binom{8}{4}}=\dfrac{10\cdot3}{70}=\dfrac{3}{7}\approx 0{,}429\).
Énoncé. Une cible circulaire est divisée en trois zones concentriques. La probabilité d'atteindre la zone centrale (rouge) est \(\tfrac{1}{5}\), celle d'atteindre la zone intermédiaire (bleue) est \(\tfrac{2}{5}\), et celle d'atteindre la zone extérieure (blanche) est \(\tfrac{2}{5}\). Un joueur lance une fléchette et reçoit 150 F s'il touche le rouge, 50 F s'il touche le bleu, et 0 F s'il touche le blanc. Le coût de participation est de 40 F.
Soit \(G\) le gain brut (avant soustraction du coût) et \(X = G - 40\) le gain net du joueur.
Question 1 — Loi de probabilité de G.
Les valeurs de \(G\) sont directement données par les gains de chaque zone. La loi de \(G\) est donc :
| \(g_i\) | 0 | 50 | 150 |
|---|---|---|---|
| \(P(G=g_i)\) | \(\dfrac{2}{5}\) | \(\dfrac{2}{5}\) | \(\dfrac{1}{5}\) |
Vérification : \(\tfrac{2}{5}+\tfrac{2}{5}+\tfrac{1}{5} = \tfrac{5}{5} = 1\).
Question 2 — Espérance de G.
En moyenne, le joueur gagne brut 50 F par partie.
Question 3 — Loi de X et espérance de X.
Le gain net est \(X = G - 40\). On en déduit les valeurs de \(X\) : \(X = 0 - 40 = -40\) si blanc ; \(X = 50 - 40 = 10\) si bleu ; \(X = 150 - 40 = 110\) si rouge.
| \(x_i\) | \(-40\) | 10 | 110 |
|---|---|---|---|
| \(P(X=x_i)\) | \(\dfrac{2}{5}\) | \(\dfrac{2}{5}\) | \(\dfrac{1}{5}\) |
On calcule alors :
\[ E(X) = (-40) \cdot \frac{2}{5} + 10 \cdot \frac{2}{5} + 110 \cdot \frac{1}{5} = \frac{-80+20+110}{5} = \frac{50}{5} = 10 \text{ F}. \]Remarque : on pouvait aussi utiliser la linéarité de l'espérance : \(E(X) = E(G) - 40 = 50 - 40 = 10\) F. Les deux méthodes s'accordent.
Question 4 — Le jeu est-il favorable au joueur ?
Un jeu est favorable au joueur si \(E(X) > 0\). Ici \(E(X) = 10 > 0\) : le jeu est favorable au joueur — en moyenne, il gagne 10 F par partie. Ce n'est pas un jeu équitable (\(E(X) \ne 0\)).
Question 5 — Variance et écart-type du gain net.
L'écart-type de 54,77 F est bien supérieur à l'espérance de 10 F : les résultats sont très dispersés, ce qui traduit une forte part d'aléatoire dans ce jeu.