Probabilité sur un ensemble fini

Énoncé. Un dé à six faces est truqué : la probabilité d'obtenir la face \(k\) est proportionnelle à \(k\). Détermine la loi de probabilité, puis la probabilité des événements \(A\) « obtenir un nombre pair » et \(B\) « obtenir au moins 5 », et enfin celle de \(A\cup B\).

Solution. Il existe un réel \(a\) tel que \(p_k=ak\). La somme des probabilités vaut 1 : \(a(1+2+3+4+5+6)=21a=1\), donc \(a=\dfrac{1}{21}\) et \(p_k=\dfrac{k}{21}\).

On additionne les probabilités des issues : \(P(A)=p_2+p_4+p_6=\dfrac{2+4+6}{21}=\dfrac{12}{21}=\dfrac{4}{7}\) et \(P(B)=p_5+p_6=\dfrac{11}{21}\).

Pour la réunion : \(A\cap B=\{6\}\), donc \(P(A\cap B)=\dfrac{6}{21}\) et \(P(A\cup B)=\dfrac{12}{21}+\dfrac{11}{21}-\dfrac{6}{21}=\dfrac{17}{21}\). On vérifie directement : \(A\cup B=\{2;4;5;6\}\) et \(\dfrac{2+4+5+6}{21}=\dfrac{17}{21}\).

Ici la formule « cas favorables sur cas possibles » donnerait \(P(A)=\dfrac{3}{6}\), ce qui est faux : il n'y a pas équiprobabilité.

Énoncé. Une urne contient 5 boules rouges, 4 vertes et 3 bleues, indiscernables au toucher. On tire simultanément 3 boules. Calcule la probabilité des événements : \(A\) « les trois boules ont la même couleur », \(B\) « les trois boules sont de couleurs différentes », \(D\) « on obtient au moins une boule rouge ».

Solution. Un tirage est une partie de 3 boules parmi 12 : \(\text{Card}(\Omega)=C_{12}^3=\dfrac{12\times 11\times 10}{3\times 2\times 1}=220\). Les boules sont indiscernables au toucher : il y a équiprobabilité.

Événement \(A\) : trois rouges, ou trois vertes, ou trois bleues, cas incompatibles. \(\text{Card}(A)=C_5^3+C_4^3+C_3^3=10+4+1=15\), donc \(P(A)=\dfrac{15}{220}=\dfrac{3}{44}\).

Événement \(B\) : une rouge, une verte et une bleue. \(\text{Card}(B)=5\times 4\times 3=60\), donc \(P(B)=\dfrac{60}{220}=\dfrac{3}{11}\).

Événement \(D\) : on passe par le contraire \(\overline{D}\) « aucune boule rouge », c'est-à-dire trois boules parmi les 7 non rouges. \(\text{Card}(\overline{D})=C_7^3=35\), donc \(P(D)=1-\dfrac{35}{220}=\dfrac{185}{220}=\dfrac{37}{44}\).

Énoncé. Dans une classe de 40 élèves, 24 pratiquent le football, 15 le basket-ball et 6 pratiquent les deux sports. On choisit un élève au hasard. Quelle est la probabilité qu'il pratique au moins l'un des deux sports ? aucun des deux ?

Solution. Le choix se fait au hasard : il y a équiprobabilité sur les 40 élèves. Notons \(F\) « l'élève pratique le football » et \(B\) « l'élève pratique le basket-ball ». On a \(P(F)=\dfrac{24}{40}\), \(P(B)=\dfrac{15}{40}\) et \(P(F\cap B)=\dfrac{6}{40}\).

« Au moins l'un des deux sports » est l'événement \(F\cup B\) : \(P(F\cup B)=\dfrac{24}{40}+\dfrac{15}{40}-\dfrac{6}{40}=\dfrac{33}{40}\).

« Aucun des deux » est l'événement contraire : sa probabilité est \(1-\dfrac{33}{40}=\dfrac{7}{40}\). On retrouve bien \(40-33=7\) élèves qui ne pratiquent aucun de ces deux sports.

Énoncé. Une coopérative reçoit des mangues de trois vergers : 50 % viennent du verger \(V_1\), 30 % de \(V_2\) et 20 % de \(V_3\). La proportion de fruits abîmés est de 4 % pour \(V_1\), 10 % pour \(V_2\) et 15 % pour \(V_3\). On choisit une mangue au hasard ; on note \(A\) « la mangue est abîmée ». Calcule \(P(A)\), puis la probabilité qu'une mangue abîmée vienne de \(V_3\).

Solution. Les événements \(V_1\), \(V_2\), \(V_3\) forment une partition de l'univers, avec \(P(V_1)=0{,}5\), \(P(V_2)=0{,}3\), \(P(V_3)=0{,}2\). L'énoncé donne \(P_{V_1}(A)=0{,}04\), \(P_{V_2}(A)=0{,}10\) et \(P_{V_3}(A)=0{,}15\).

D'après la formule des probabilités totales : \(P(A)=0{,}5\times 0{,}04+0{,}3\times 0{,}10+0{,}2\times 0{,}15=0{,}02+0{,}03+0{,}03=0{,}08\). Ainsi 8 % des mangues sont abîmées.

On remonte l'arbre : \(P_A(V_3)=\dfrac{P(A\cap V_3)}{P(A)}=\dfrac{0{,}03}{0{,}08}=\dfrac{3}{8}=0{,}375\). Le verger \(V_3\) ne fournit que 20 % des mangues, mais 37,5 % des mangues abîmées.

Énoncé. On lance un dé équilibré à six faces. On considère les événements \(A\) « obtenir un nombre pair », \(B\) « obtenir un multiple de 3 » et \(C\) « obtenir au moins 4 ». Les événements \(A\) et \(B\) sont-ils indépendants ? Et \(A\) et \(C\) ?

Solution. \(A=\{2;4;6\}\), \(B=\{3;6\}\), \(C=\{4;5;6\}\), donc \(P(A)=\dfrac{1}{2}\), \(P(B)=\dfrac{1}{3}\) et \(P(C)=\dfrac{1}{2}\).

\(A\cap B=\{6\}\), donc \(P(A\cap B)=\dfrac{1}{6}\). Par ailleurs \(P(A)\times P(B)=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6}\). Les deux nombres sont égaux : \(A\) et \(B\) sont indépendants.

\(A\cap C=\{4;6\}\), donc \(P(A\cap C)=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}\), alors que \(P(A)\times P(C)=\dfrac{1}{4}\). Les deux nombres sont différents : \(A\) et \(C\) ne sont pas indépendants. On le voit aussi avec \(P_C(A)=\dfrac{2}{3}\), différent de \(P(A)=\dfrac{1}{2}\).

Énoncé. On lance une pièce truquée pour laquelle la probabilité d'obtenir pile est 0,6. Puis on tire une boule au hasard dans une urne contenant 3 boules rouges et 2 boules noires. Calcule la probabilité d'obtenir pile et une boule rouge, puis la probabilité d'obtenir pile ou une boule rouge.

Solution. Les deux épreuves n'influent pas l'une sur l'autre : elles sont indépendantes, et la probabilité d'un couple de résultats est le produit des probabilités. La probabilité de tirer une boule rouge est \(\dfrac{3}{5}=0{,}6\).

Probabilité d'obtenir pile et rouge : \(0{,}6\times 0{,}6=0{,}36\).

« Pile ou rouge » est le contraire de « face et noire », dont la probabilité est \(0{,}4\times 0{,}4=0{,}16\). On obtient donc \(1-0{,}16=0{,}84\). Contrôle par la formule de la réunion : \(0{,}6+0{,}6-0{,}36=0{,}84\).