Terminale D · Leçon 1
Nombres complexes
Ce que dit le programme officiel (23 points)
- Différentes formes d’un nombre complexe : le corps des nombres complexes
- Forme algébrique
- Conjugué d’un nombre complexe
- Représentation géométrique d’un nombre complexe, affixe d’un point, d’un vecteur
- Module d’un nombre complexe
- Argument d’un nombre complexe non nul
- Forme trigonométrique d’un nombre complexe non nul
- Notation exponentielle z = r e^(i…)
- Définir le corps ℂ des nombres complexes
- Limite : la construction algébrique de ℂ n’est pas au programme
- Donner les différentes écritures (notations) d’un nombre complexe : algébrique, trigonométrique, exponentielle
- Représenter graphiquement un nombre complexe
- Déterminer le module et un argument d’un nombre complexe
- Interpréter le module et l’argument de Z_B – Z_A et de (Z_C – Z_B) / (Z_C – Z_A), Z_A, Z_B, Z_C étant des nombres complexes, dans des problèmes de distance et d’angle (alignement, cocyclicité)
- Applications de la forme trigonométrique d’un nombre complexe : formule de Moivre
- Linéarisation ; transformation de cos nx et sin nx en polynôme de cos x et sin x
- Racines n-ièmes d’un nombre complexe ; interprétation géométrique
- Reconnaître et utiliser les formules de Moivre et d’Euler
- Linéariser un polynôme trigonométrique (degré inférieur ou égal à 5)
- Déterminer et interpréter géométriquement la racine n-ième d’un nombre complexe
- Résolution dans ℂ d’équations du second degré
- Résoudre des équations du second degré dans ℂ
- Résoudre une équation du 3ème degré connaissant une racine
Source : Programme de mathématiques, classe de Terminale D, ministère des Enseignements secondaires (Niger)
Nombres complexes : forme algébrique, opérations, puissances de i
Dans \(\mathbb{R}\), \(x^2+1=0\) n’a pas de solution. On définit \(i\) tel que \(i^2=-1\) :
a) \(i^{23}=-i\) b) \(i^{100}=1\) c) \(i^{-1}=-i\)
- \(a=\text{Re}(z)\) : partie réelle \(b=\text{Im}(z)\) : partie imaginaire (réel !)
- Si \(b=0\) : réel pur. Si \(a=0,\,b\neq 0\) : imaginaire pur.
- \(\text{Im}(3+5i)=5\) — pas \(5i\).
- \(\sqrt{-4}=2i\). En général : \(\sqrt{-a}=i\sqrt{a}\) pour \(a>0\).
- Toujours remplacer \(i^2=-1\) dans tout calcul.
Avec \(z_1=3+2i\) et \(z_2=1-4i\) : \(z_1+z_2=4-2i\) ; \(z_1 z_2=11-10i\)
Conjugué d'un nombre complexe
Symétrique de \(z\) par rapport à l’axe réel.
| Propriété | Formule |
|---|---|
| Double conjugaison | \(\overline{\bar{z}}=z\) |
| Somme | \(\overline{z+z'}=\bar{z}+\bar{z'}\) |
| Produit | \(\overline{z\cdot z'}=\bar{z}\cdot\bar{z'}\) |
| \(z\cdot\bar{z}\) | \(a^2+b^2=|z|^2\geq 0\) |
Plan complexe : affixe, image, distances
À \(z=a+bi\) on associe \(M(a\,;\,b)\). \(M\) est l’image de \(z\) ; \(z\) est l’affixe de \(M\).
| Objet | Formule |
|---|---|
| Affixe de \(\overrightarrow{AB}\) | \(z_B-z_A\) |
| Distance \(AB\) | \(|z_B-z_A|\) |
| Milieu \(I\) | \(\dfrac{z_A+z_B}{2}\) |
| Centre de gravité \(G\) | \(\dfrac{z_A+z_B+z_C}{3}\) |
Module d'un nombre complexe
Argument et forme trigonométrique
\(|z|=2\), \(\cos\theta=-\frac{1}{2}\), \(\sin\theta=\frac{\sqrt{3}}{2}\) → \(\theta=\frac{2\pi}{3}\)
\(\cos\theta=-\frac{1}{2}\) seul ne suffit pas. Le signe du sin est indispensable.
Opérations +, −, égalité
Lecture géométrique
Puissances, ×, ÷
- Calculer \(r=\sqrt{a^2+b^2}\)
- Résoudre simultanément \(\cos\theta=a/r\) ET \(\sin\theta=b/r\)
- Écrire \(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\)
1. \(z=1+i\) : \(r=\sqrt{2}\), \(\theta=\pi/4\)
2. \(z=-1+i\sqrt{3}\) : \(r=2\), \(\theta=2\pi/3\)
3. \(z=-\sqrt{3}-i\) : \(r=2\), \(\theta=-5\pi/6\)
4. \(z=2-2i\) : \(r=2\sqrt{2}\), \(\theta=-\pi/4\)
Modules : se multiplient. Arguments : s’additionnent.
Si \(\cos\theta=-1/2\) seul, deux valeurs sont possibles. Le signe de \(\sin\theta\) est obligatoire.
Forme exponentielle et formule d'Euler
Relie les 5 constantes fondamentales : \(e\), \(i\), \(\pi\), \(1\), \(0\).
\(2+2i\sqrt{3}=4e^{i\pi/3}\) \(-i=e^{-i\pi/2}\) \(-2=2e^{i\pi}\)
Complexes et géométrie : configurations, alignement, orthogonalité
| Condition géométrique | Condition complexe |
|---|---|
| A, B, C alignés | \(\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\in\mathbb{R}\) |
| \(\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{AC}\) | quotient imaginaire pur |
| ABC isocèle rect. en A | quotient \(=\pm i\) |
| ABC équilatéral | module 1, arg \(=\pm\pi/3\) |
| ABCD parallélogramme | \(z_A+z_C=z_B+z_D\) |
| Angle \(\widehat{BAC}\) | \(\arg\!\left(\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right)\) |
Formule de Moivre et linéarisation
1. \((1+i)^6=(\sqrt{2})^6 e^{i6\pi/4}=8e^{i3\pi/2}=-8i\)
2. \((\sqrt{3}+i)^{10}=2^{10}e^{i10\pi/6}=512-512\sqrt{3}\,i\)
\(\cos 3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta\) \(\sin 3\theta=3\sin\theta-4\sin^3\theta\)
Linéarisation de cos² et sin², angles multiples
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| Cas | Racines |
|---|---|
| \(\Delta>0\) | Deux réelles \(\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\) |
| \(\Delta=0\) | Racine double \(-\dfrac{b}{2a}\) |
| \(\Delta<0\) | Deux complexes conjuguées \(\dfrac{-b\pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}\) |
\(\Delta=-16\) → \(z_1=1+2i\), \(z_2=1-2i\)
Propriété : \(1+j+j^2=0\).
- \(\text{Im}(3+5i)=5\) et non \(5i\)
- Oublier de remplacer \(i^2=-1\) dans un produit
- Déterminer l’argument avec cos seul
- Écrire \(\sqrt{-\Delta}\) au lieu de \(i\sqrt{-\Delta}\)
- Oublier que les racines n-ièmes sont espacées de \(2\pi/n\)
Polynômes : degré, racine et factorisation par (x − a)
Rappel de PremièreUn polynôme s'écrit sous forme réduite \(P(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0\) avec \(a_n\ne0\) : \(n\) est le degré de \(P\). Le polynôme nul est celui dont tous les coefficients sont nuls ; on admet que si un polynôme est nul, tous ses coefficients le sont.
Si \(P(a)=0\), alors \(P(x)=(x-a)Q(x)\) pour un polynôme \(Q\) de degré \(n-1\).
Pour \(ax^2+bx+c=0\) (\(a\ne0\)) de racines \(x_1,x_2\) (éventuellement égales) :
\[ x_1+x_2 = -\dfrac{b}{a}, \qquad x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}. \]Utile pour retrouver rapidement des racines évidentes, ou pour construire un trinôme à partir de deux racines données.
Diviser \(P(x)=2x^3-3x^2+4x-1\) par \(D(x)=x-1\).
On dispose la division comme pour les entiers : \(2x^3\div x = 2x^2\), on multiplie et soustrait, on répète.
\[ \begin{aligned} 2x^3-3x^2+4x-1 &= (x-1)(2x^2) + (-x^2+4x-1) \\ &= (x-1)(2x^2-x) + (3x-1) \\ &= (x-1)(2x^2-x+3) + 2 \end{aligned} \]Quotient \(2x^2-x+3\), reste \(2\) (constant, degré \(<1\)).
Racine évidente. \(P(x)=x^3-6x^2+11x-6\) : \(P(1)=1-6+11-6=0\). On divise par \((x-1)\) : \(P(x)=(x-1)(x^2-5x+6)=(x-1)(x-2)(x-3)\).
Fraction rationnelle. Simplifier \(\dfrac{x^2-4}{x^2-x-2}\). On factorise : numérateur \((x-2)(x+2)\), dénominateur \((x-2)(x+1)\) (car somme des racines \(1\), produit \(-2\) : racines \(2\) et \(-1\)). Pour \(x\ne2\) : \(\dfrac{x^2-4}{x^2-x-2}=\dfrac{x+2}{x+1}\).
Résumé
\(z=a+bi\), \(i^2=-1\)
Cycle période 4 : \(i^{4k}=1\)
\(\bar{z}=a-bi\)
\(z\cdot\bar{z}=|z|^2\)
\(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\)
\(|zz'|=|z||z'|\)
\(\cos\theta=a/|z|\), \(\sin\theta=b/|z|\)
Défini modulo \(2\pi\)
Distance : \(|z_B-z_A|\)
Milieu : \(\frac{z_A+z_B}{2}\)
\(\Delta<0\) : racines conjuguées
Racines n-ièmes : espacées de \(2\pi/n\)
\(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\)
Modules ×, arguments +
\(e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\)
\(e^{i\pi}+1=0\)
\((re^{i\theta})^n=r^n e^{in\theta}\)
Linéarisation via formules Euler
Aligné : quotient \(\in\mathbb{R}\)
Perp. : quotient im. pur
Rot. O : \(z'=e^{i\alpha}z\)
Rot. \(\Omega\) : \(z'-\omega=e^{i\alpha}(z-\omega)\)
Algébrique · Trigo. · Expo.
Sujet type Bac
Données : \(A(z_A=1+i)\), \(B(z_B=3+2i)\), \(C(z_C=2+4i)\). Soit \(r\) la rotation de centre \(A\), angle \(\pi/2\).
\(z^2-2(1+i)z+(1+2i)=0\) — \(\Delta=-4\), \(\sqrt{\Delta}=2i\)